浅析∫+∞af(x)dx收敛与limx+∞f(x)=0的关系

【摘要】在判断limx+∞f（x）=0是否成立时，有时应用直接办法太复杂，我们也可以借助∫+∞af（x）dx的敛散性，再结合一些已知条件来判断，常使复杂的问题简单化.

【关键词】收敛；发散；极限

预备知识

定义设函数f（x）定义在无穷区间[a，+∞），且在任何有限区间[a，b）上可积.如果存在极限limx+∞∫xaf（t）dt=J，则称此极限为函数f（x）在[a，+∞）上的无穷限非正常积分，记作：J=∫+∞af（x）dx.

同时称∫+∞af（x）dx收敛.如果极限不存在，则称无穷限积分发散.但∫+∞af（x）dx收敛时不能推出limx+∞f（x）=0.

例如，∫+∞0sinx2dx=∫+∞0sint2tdt收敛，但limx+∞sinx2≠0，看来只在∫+∞af（x）dx收敛的条件下不可能推出limx+∞f（x）=0，下面给f（x）付加一些条件就可以推出limx+∞f（x）=0.

（1）设∫+∞af（x）dx收敛，且limx+∞f（x）存在，则一定有limx+∞f（x）=0.

证明若limx+∞f（x）为有限正数或无穷大，则都存在x0>a和c>0，使得当x>x0时，有f（x）>c，因此对A>x0有∫Aaf（x）dx=∫x 0af（x）dx+∫Ax0f（x）dx>∫x 0af（x）dx+c（A-x0）>+∞，这与无穷限积分收敛的条件矛盾，可见limx+∞f（x）不可能是有限正数或无穷大，同样可以证明limx+∞f（x）也不可能是负数或负无穷大，因此得：limx+∞f（x）=0.

（2）∫+∞af（x）dx收敛且f（x）在[a，+∞）上一致连续，则有limx+∞f（x）=0.

证明（反证法）若x+∞时，有f（x）不趋于0，则存在ε0>0，使得任意A>0，存在x1>A，有|f（x1）|≥ε0，又因为f（x）在[a，+∞）上一致连续，对ε02>0，存在δ>0，当|x′-x″|≤δ时，有|f（x′）-f（x″）|≤ε02，故当x∈[x1，x1+δ]时，有

|f（x）|≥|f（x）-f（x1）+f（x1）|≥|f（x1）|-|f（x）-f（x1）|≥ε02.

并且f（x）与f（x1）同号（因为不然的话，|f（x）-f（x1）|>ε0产生矛盾）.

若f（x1）>0，则f（x）>0，从而由上式得f（x）>ε02故

∫x 1+δx1f（x）≥ε02∫x 1+δx1dx=ε02δ.同理f（x1）0，对任意A，存在x1+δ>x1>A，使得∫x 1+δx0f（x）≥ε02δ.

根据cauchy准则，即∫+∞af（x）dx发散，与假设矛盾.所以limx+∞f（x）=0.

（3）∫+∞af（x）dx收敛且f（x）连续可微，且∫+∞af′（x）dx也收敛，则limx+∞f（x）=0.

证明要证明x+∞时f（x）有极限，根据Heine定理，我们只要证明对任意{xn}+∞恒有{f（xn）}收敛，事实上，∫+∞af′（x）dx收敛，根据Cauchy准则，对任意ε>0，存在A>a以及任意x1，x2>A，∫x 2x1f′（x）dx=|f（x2）-f（x1）|

因此任意{xn}+∞，存在N>0，当n，m>N时，有xn，xm>A，从而，∫x mxnf′（x）dx=|f（xm）-f（xn）|

（4）∫+∞af（x）dx收敛，且函数f（x）在x≥0上有一阶导数，|f′（x）|

证明|f′（x）|

（5）如果将函数f（x）变为单调，不仅有limx+∞f（x）=0而且对“阶”作了估计.

例∫+∞af（x）dx收敛，且f（x）单减，则有limx+∞xf（x）=0.

证明首先有f（x）≥0，因为若存在某x1，使得f（x1）x1时，恒有f（x）

其次，由∫+∞af（x）dx收敛，知对任意的ε>0，存在A>a，当A″>A′>A时，有∫A″A′f（x）dx2A，有0

【参考文献】

[1]孙涛.数学分析经典习题解析[M].北京：高等教育出版社.

[2]毛羽辉.数学分析学论[M].北京：科学出版社.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社.

[4]华东师大数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社.