基于抗差估计的控制网数据处理方法探究

【摘 要】细致讨论最小二乘准则平差的局限性。结合三种常见的抗差估计权因子函数，对控制网平差的间接平差模型的性质进行了详细研究，分析了抗差估计理论与方法的数学性质和特点，通过数据处理实验，深入研究了测量数据处理过程中抗差估计方法的有关性质。针对估计效果，分析了在使用不同权因子函数进行抗差估计时对平差结果精度的影响，解决了抗差估计方案设计及选择中的几个难题。

【关键词】抗差估计；最小二乘准则；等价权因子

【Abstract】The limitation of the least-aquares adjustment criterion is discussed in detail.The nature of the indirect adjustment model of the control network is studied amply with Three common error estimation weight function. We analyzed the mathematical properties and characteristics of the theory and method of robust estimation. At the same time，we discussed the properties of the robust estimation method in the measurement data processing based on the data processing experiment.To the estimation effect， We studied the influence of different weight factor functions on the accuracy of adjustment results.Several problems in design and selection of robust estimation projects are solved.

【Key words】Robust estimation； Method of least squares； Equivalent weight factor

0 引言

在进行外业测量中，观测误差是不可避免的。由于观测误差的存在，当观测值的个数与必要观测数相等时，此时没有检核条件，尽管此时仍可求出未知量的值，但这种结果必然包含无法估量的误差，其精准度更是无法保证。另一方面，当观测值的个数大于必要观测数时，又会出现某些观测值不符合理论关系的情况，如出现三角形内角和不等于180°。测量平差可以基于一定的数学方法，减弱甚至消除其影响，以求取未知量的最优估值，同时起到对观测值进行精度评定的作用。经典平差方法以间接平差，条件平差为代表，皆遵循最小二乘准则。近代平差则引入了新的平差模型，如抗差估计，秩亏网自由平差方差分量估计等理论。本文将以间接平差函数模型为例，细致讨论最小二乘准则平差的局限性，结合三种常见的抗差估计权因子函数，并就一个算例进行抗差估计效果的讨论，得出许多重要价值的结论。

1 控制网平差的间接平差模型

测量中水准网、导线、三角网、GPS控制网等，在数据处理的时候广泛采用间接平差的方式，使精度得到提升[1]。我们在此先探究间接平差模型和抗差估计的平差方法。

1.1 间接平差模型

平差时选取t个独立量作为参数，可以将观测的n个量表达为所选t个独立参数的函数，这种平差函数模型称为间接平差[2]。

设某平差问题中有n个观测值，t个必要观测个数，组成误差方程如下：

式中：V是n维观测残差向量，B为n×t阶系数矩阵，x为参数的改正数，l是n维观测值与近似值之差的向量。

在数据处理时，设权矩阵为P，则按最小二乘原理，得参数解为：

从式（2）可以看出，利用最小二乘法可以简便地求得参数的估值，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。偶然误差符合正态分布，在正常分布模式下，此法具有优越的数学和统计性能。但是当观测数据中含有粗差时，误差分布模型将偏离正态分布，最直接的影响将l使值系统性的增大或减小，从而使x偏离，进而使的VPV偏大。

1.2 抗差估计的平差方法

经典平差总是假设观测值中只含偶然误差，不含粗差，平差模型正确。但测量实践表明，由种种原因可能产生误差或错误。一个有效的估计方法，必须保留最小二乘法的优越性，同时增强其抗差性。i抗差估计是从随机模型入手，寻找既能自动抗拒粗差的影响，又基本上具备经典最优估计统计特性的估计方法[3]。

2 实例分析

为了验证抗差估计在测绘数据处理中的作用，本文以三角网数据处理为例对该方法的有效性及优越性进行验证。

2.1 数据来源

实验中以文献[5]中测角网实例为数据源，三角网型如图1所示，起算数据如表1、2所示。一测角三角网如图，网中A，B，C，D为已知点，P，P为待定点，同精度观测了18个角度值，验前单位权中误差为1.4″。

2.2 处理过程

在数据处理以原始无粗差的观测数据计算的结果为参考（表3），采用人为加入粗差的方式对最小二乘和抗差估计进行对比[6]。

表4给出本文测试方案，通过在不同观测值加入不同的粗差形成了各方案，分别采用最小二乘平差以及抗差估计方法从定位精度方面进行比较，同时对不同权函数从迭代次数角度进行分析。

观察坐标偏移量表5发现，几种方案的坐标偏移量并不是呈现单纯的递增或递减，这是由于我们以原始观测值最小二乘平差结果作为真值进行比较造成的，而原始观测值并不是毫无误差的。

由表6我们可以看出，最小二乘平差对粗差无抑制作用，验后单位权中误差迅速增大，而抗差估计方案对粗差不良影响的抑制性是显著的且各有千秋的。三种抗差方案与最小二乘处理效果对比，IGG3方案效果最好。

由表7可知，与其他方案相比较，IGG3方案迭代次数明显增加。这种缺陷在小数据中几乎不能体现，但如果控制网非常复杂，将影响计算机计算的速度。

3 结论

通过各种情况下的详细探究，并以三角网测量数据处理中的优越性进行了分析对比，得到以下结论：

1）不存在粗差时，最小二乘平差与IGG1方案和Huber方案差别不大，但三者效果皆弱于IGG3方案；存在粗差时，三种抗差方案与最小二乘处理效果呈现鲜明的对比，IGG3方案效果依旧最好，其次为IGG1方案，再次为Huber方案，最小二乘平差并不起抗差作用。

2）从等价权上看，IGG1、IGG3、Huber方案都有降权的作用。不同的是，IGG1、IGG3抗差方案将权降为零值，直接使观测值粗差剔除。而Huber方案虽然不会使含粗差的观测值权降为零，剔除粗差，但已通过降权使其污染性减小，就抗差效果而言，已与IGG1方案接近。且由于其上述特性，保证了多余观测值的存在。

3）从迭代次数上看，加或者不加粗差，又或者与其他方案相比较，IGG3方案虽然抗差效果尤其突出，但是其迭代次数明显增加，这种缺陷在小数据中几乎不能体现，但如果控制网非常复杂，将影响计算的效率。

【参考文献】

[1]崔希璋，于宗俦，陶本藻，等.广义测量平差（新版）[M].武汉：武汉大学出版社，2005.

[2]葛永慧，夏春林，王列平，等.测量平差基础[M].北京：煤炭工业出版社，2007.

[3]周江文.经典误差理论与抗差估计[J].测绘学报，1989，18（02）.

[4]宋力杰.测量平差程序设计[M].北京：国防工业出版社，2009.

[5]武汉大学测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2003.

[6]王乐洋.测边网坐标的总体最小二乘平差方法[J].大地测量与地球动力学，2012，32（06）：81-85.