专题十 数学应用题(2)

1. 某工厂生产某种产品的固定成本为[250]万元，每生产[x]千件，需另投入成本[C（x）]（万元），当年产量不足[80]千件时，[C（x）=13x2+10x]. 当年产量不小于[80]千件时，[C（x）=51x+10000x-][1450]. 每件产品售价为[0.05]万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完.

（1）写出年利润[L（x）]（万元）关于年产量[x]（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？

2. 某企业年终奖励基金的发放方式：在每年年终把奖金总额平均分成[6]份，奖励在企业所属[6]个部门中最有贡献的员工，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息存入基金总额以便保证奖金数逐年增加. 假设基金平均年利率为[r=6.24%]，[2002]年该奖金发放后基金总额约为[360]万元.用[an]表示为第[n]（[n∈N?]）年该奖发放后的基金总额（[2002]年为第一年）.

（1）用[a1]表示[a2]与[a3]，并根据所求结果归纳出[an]的表达式；

（2）试根据[an]的表达式判断[2013]年度该奖金是否超过[3]万元，并计算从[2003]年到[2013]年该奖金累计发放的总额.

（参考数据：[1.062410=1.83]，[1.03129=1.32]，[1.031210=1.36]，[1.031211=1.40].）

3. 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数[f（x）]与时刻[x]（小时）的关系为[f（x）=|xx2+1-a|+2a+23]，[x∈0，24]. 其中[a]是与气候有关的参数，且[a∈0，12]，若取每天[f（x）]的最大值为当点的综合放射性污染指数，并记为[M（a）].

（1）令[t=xx2+1]，[x∈0，24]，求[t]的取值范围；

（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过[2]，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标.

4. 如图，扇形[AOB]是一个观光区的平面示意图，其中圆心角[∠AOB]为[2π3]，半径[OA]为[1][km]. 为了便于游客观光休闲，拟在观光区铺设一条从入口[A]到出口[B]的观光道路，道路由弧[AC]、线段[CD]及线段[BD]组成，其中[D]在线段[OB]上，且[CD∥AO]，[∠AOC=θ].

（1）用[θ]表示[CD]的长度，并写出[θ]的取值范围；

（2）当[θ]为何值时，观光道路最长？

5. 香港政府颁布了香港奶粉“限带令”后，引发了“国产奶粉”与“洋奶粉”之间的战争，国内某著名奶粉生产企业组织婴幼儿营养专家进行新型奶粉研发，推出用甲、乙两种原料配制的优质奶粉品牌. 其中甲种原料每[10g]含[5]单位蛋白质和[10]单位铁质，售价[3]元；乙种原料每[10g]含[7]单位蛋白质和[4]单位铁质，售价[2]元. 若婴幼儿每餐至少需要[35]单位蛋白质和[40]单位铁质，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养又使费用最省？

6. 如图1，[OA]，[OB]是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段[CD]和曲线[EF]分别是湖泊中的一条栈桥和防洪堤. 为观光旅游需要，拟过栈桥[CD]上某点[M]分别修建与[OA]，[OB]平行的栈桥[MG]，[MK]，且以[MG]，[MK]为边建一个跨越水面的三角形观光平台[MGK]. 建立如图2所示的直角坐标系，测得[CD]的方程是[x+2y=20]（[0≤x≤20]），曲线[EF]的方程是[xy=200]（[x>0]），设点[M]的坐标为[（s，t）]. （题中所涉及的长度单位均为米，栈桥及防洪堤都不计宽度）

（1）用[s]，[t]表示三角形观光平台[MGK]面积的表达式[SMGK]；

（2）求[SMGK]的最小值.

[图1] [图2]

7. 某市为“市中学生创新能力知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于[90]分的有参赛资格，[90]分以下（不包括[90]分）的则被淘汰. 若现有[500]人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图所示.

（1）求获得参赛资格的人数；

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值为代表，试据此方法估算这[500]名学生测试的平均成绩；

（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有[5]次选题答题的机会，累计答对[3]题或答错[3]题即终止，答对[3]题者方可参加复赛. 已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相等， 并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为[19]，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望.

[频率

组距][O] [分数][30 50 70 90 110 130 150][0.0170

0.0140

0.0065

0.0050

0.0043

0.0032]

8. 如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路[OC]，另一侧修建一条观光大道，它的前一段[OD]是以[O]为顶点，[x]轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段[DBC]是函数[y=Asin（ωx+φ）]（[A>0]，[ω>0]，[|φ|

（1）求函数[y=Asin（ωx+φ）]的解析式；

（2）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园[PMFE]，问点[P]落在曲线[OD]上何处时，水上乐园的面积最大？