“速度相等”背后的玄机

在一个系统中，出现两个或多个物体相互作用的过程，它们的速度变化到相等时，会出现相应的临界问题或极值问题，尤其是发生弹性碰撞的两个物体，碰撞前后的相对速度大小相等，方向相反.如果我们在讨论物理问题时，抓住速度相等的规律，会使很多复杂问题的解决变得方便、快捷。

一、追及、相遇问题的临界状态时速度相等

例1 火车以速度ν1匀速运动，司机发现前方同轨道上相距s0处有另一火车沿同方向以速度v2做匀速运动.己知v1>v2，司机立即紧急刹车，加速度大小为a。要使两车不相撞，a应满足什么条件？

解：抓住两车速度相等，再列位移关系式是解题的关键。火车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至与v2相等之前，因v1>v2，两车距仍将逐渐减小；当两车速度相等时，两车间距最小，若此时不相撞，以后两车间距将增大，就不会相撞.设两车运动时间为t，不相撞所满足的条件为：

.

解得： .

易错点评析：有些同学误认为不相撞的条件是火车的速度减为零时，两车的位移之差小于彻，而没考虑到当两车速度相等时，如果恰好接触，以后火车继续减速，两车之间的距离就要拉大.

拓展与建议：当两物体做同向运动时，速度相等是能追上、追不上、两者距离存在极值的临界状态.

(1)当追者A速度较大旦做减速运动，被追者B做匀速运动，要讨论两者速度相等时看SA与SB 相的大小关系（设A、B开始相距S0）.

①当VA=VB时SA-SB

②当VA=VB时SA-SB=S0，则恰能追上.

⑵当追者A作初速较小的匀加速运动，被追者B做速度较大的匀速运动，讨论两者速度相等时，看SA与SB的大小关系（设A、B开始相距S0）.

①当VA=VB，此时两者间有最大距离；

②当时SA-SB=S0时，此时A追上B.

分析追及、相遇问题时，要充分挖掘题目中的隐含条件，如“恰好”、“最多”、“至少”等往往对应一个临界状态，还应特别注意是否存在相遇两次的可能性，以及被追物体在做匀减速运动时可能未被追及巳先停止等情况.抓住速度相等可能是一个重要的突破口。此外，还可通过画“速度一 时间”图象解这类题。

二、速度相等之时弹簧最短或最长

例2 如图1所示，在光滑水平长直轨道上， 静止着两个质量分别为m1、m2的小球，两小球之间用劲度系数为k，自然长度为l的 轻弹簧联结.现突然给左端小球m1 一个向右的速度v0，求弹簧的最小长度和最大长度.

解：m1、m2和弹簧组成的系统中，在水平方向上只有相互间的弹力，没有外力，故动量、机械能都守恒.弹簧压缩量最大，即弹簧长度最短，出现在m1、m2速度相同时刻。因为在此之前v1>v2，弹簧不断被压缩；m1、m2第一次共速之后，由于弹簧处于压缩状态，m2受到水平向右的弹力，将不断加速. m1受到水平向左的弹力，速度将减小，直到弹簧恢复原长，此 时v2>v1；此后弹簧将伸长，m2减速，m1加速.两者之间的距离不断增大，直到m1、m2第二次共速，弹簧伸长量达到最大，一即弹簧长度最长.设弹簧为X，根一 据系统动量守恒 及机械能守恒

解得： ,即最小长度 ，最大长度 .

易错点评析：有些同学会误以为最小长度是m1速度减零时、最长长度是m2速度减为零时。

拓展与建议：弹簧小球模型的特点是无论是最小长度还是最大长度，都是在两者速度相等的时刻出现，同时也是弹性势能最大的条件.如光滑水平地面上静止停放质量为m1、m2的两木块，两木块间用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长，现有一质量为m0的子弹以速度v0打入m1，弹簧最短或最长的 条件仍为三者速度相等.

针对这类模型，抓住速度相等，弹簧处于最短或最长，再结合动量守恒、能量转化与守恒，问题都会很快得到解决.

三、碰撞损失动量最大时必是速度相等

例3 在光滑的水平面上，质量为m1的球，以速度v0去正碰另一质量为m2的静止球.试证明：在碰后两球速度相等的情况下两球组成的系统损失的动能最多.

即速度相等时损失的动能最大.

易错点评析：认为碰后两物体速度都为零、m1的速度为零或m2的速度最大都是片面的.

拓展与建议：上述求证过程说明速度相等时有能量转化极值问题出现，这个结论我们也可以推广到其它任何碰撞过程中能量转化的物理现象中去，只要两者速度相等时，一定会出现能量转化的极值问题，这是一个非常重要的规律.

可使用用数学规律求解物理问题.用这种方法解决的题目的特点是:

（1）有多于两个未知的物理量；

（2）物理量之间满足关于其中一个物理量的一元二次方程.

具体的方法是：整理出一个关于其中一个物理量的一元二次方程，因方程≥0，可得到关于剩下的几个物理量的不等式.

例4 如图2所示，在水平光滑的行车轨道上 停放着质量为40kg的吊车，吊车下面用长2m的轻绳吊着质量为9.9 kg的沙箱，质量为0.1kg的子弹以500m/s的水平速度射入沙箱，并留在沙箱中.求:沙箱摆动的最大高度.(g取10 m/s2)

解析：由于悬点不固定，沙箱(含子弹)是随着小车往前移动的.当沙箱摆到最高点时，沙箱（含子弹）只是竖直方向的速度为零，而水平方向依然具有一定速度，该速度恰好和小车的速度相等.

(1)以子弹和沙箱作为一个系统，在水平方向上动量守恒： .

解得： .

子弹打入后沙箱获得5 m/s的水平速度，当三者水平速度相等时，子弹和沙箱就恰好摆到最高点，在其摆到最高点的过程中(子弹十沙箱十吊车)系统不受水平外力作用，在水平方向动量守恒；系统中只有重力做功，机械能守恒.沙箱摆到最高点时，沙箱和吊车相对速度为零，具有共同的水平速度 ，即可知：

,

.

上两式消去 的：h=1m.

易错点评析：有些同学会误认为沙箱速度为零 时摆到最高点.

拓展与建议：遇到两个物体相互作用，一个物体只在水平方向上运动，另一物体有水平运动又有竖直方向的运动，那么要求另一物体上升的最大高度，一定先确定两物体水平方向的速度相等，竖直分速度减为零，再利用动量守恒，能量守恒可解决问题.

四、发生弹性碰撞的两物体，相对速度的大小必相等

例5 如图3所示运动，前方有质量m1的小球以速度v1运动，前方有质量m2的小球以速度v2运动。v1、v2在同一直线同一方向，v1>v2.试证明两球弹性滋撞前后相对速度大小相等.

解析：设碰撞结束以后，两球速度分别为 、，方向仍同。v1、v2则由动量、动能守恒得：

⑥式左边代表碰前两球的相对速度，右边代表碰后两球的相对速度，两者大小相等，方向相反.

拓展与建议：上述推导过程证明发生弹性碰撞的两物体总是相对速度大小相等，方向相反.知道这个特点，很多复杂的问题可直接用这个结论去解决.

另外，有关弹性碰撞的规律我们可以归纳如下：

设一质量为m1，速度为v1的小球与一质量为m2的静止小球发生正面弹性碰撞.

(1)由动量守恒得： ，

由动量守恒得： ，

联立解得： ， .

(记得这个结论，提高做此类题目的云运算速度)

（2）在上述前提下，设初速度为v1的方向为正方向.

当m1> m2时，则 ，两球碰撞后均沿初速度v1方向运动；

当m1= m2时，则 ，两球碰撞后交换速度；

当m1< m2时，则 ，主动球反方向运动，被动球沿v1方向运动；

当m1

（3）被碰球获得最大速度、最大动能、最大动量的条件：

当m1>>m2时，m2获得的最大速度为2v1；

当m1

当m1=m2时，m2获得的最大动能为 .

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文