例谈端值法解选择题的应用和局限

【摘要】解析 本题可以由动量守恒定律进行正面求解，但要求对相对速度有较深刻的理解.如果用端值法，可以绕过对相对速度的理解问题，进行快速求解. 假设喷出的燃气相对火箭的速度u减小到零...

一个物理问题，在不超出变量取值范围的前提下，对变量取极端值（极大值或极小值）进行分析和研究，这种方法就叫做端值法.在某些选择题中，用端值法能快速进行判断.但端值法是一种用特殊个例推测一般情况的方法，哪些选择题适宜用端值法？端值法求出的解正确吗？能否对端值法的操作做些优化以提高它的适用性？本文试图从端值法的数学本质出发，对上述三个问题进行回答，以厘清端值法在解物理选择题时的应用和局限.

1 应用于表达式的判断——否定排除

例1 总质量为M的火箭，以速度v0沿水平方向飞行，当质量为m的燃气，以相对于火箭以u的速度向后喷出时，火箭的速度为

A.Mv0+muM—m B.（M—m）v0—muM+m

C.Mv0+muMD.Mv0+muM—2m

解析 本题可以由动量守恒定律进行正面求解，但要求对相对速度有较深刻的理解.如果用端值法，可以绕过对相对速度的理解问题，进行快速求解.

假设喷出的燃气相对火箭的速度u减小到零，相当于没有燃气喷出，显然这时火箭的速度应不变，仍为v0，将u=0代入，只有C选项满足答案，故选C.

对解题过程进行观察，可得出以下结论：

结论1：通过端值的选定，一个一般性问题A（以相对于火箭以u的速度向后喷出）变为特殊问题B（以相对于火箭以零的速度向后喷出），问题得到简化.

结论2：求火箭速度的表达式其数学本质是求A的通解，可以用否定排除法.设A的待定通解为a，B的确定解为b.

因为特例B包含于一般情况A，故B的解应不失一般性，即b∈a.据此，可逆向判断：如ba，则a不是A的通解，这是一个充分的判断.本例就是用了这种否定排除法.

如B∈A，且b∈a，则a不一定是A的通解.本例中，火箭的末速度实质受m和u两个变量的影响.设m=0，即没有气体向后喷出，火箭的速度也应不变，仍为v0，将m=0代入，四个选项均满足.但事实上A、B、D均为错解.

结论3：本例中u的最大值在哪里？表面上可设u=∞，但这不符合物理事实，因为这意味着能量的无穷大，故赋端值时也要结合物理情境先做判断.

2 应用于变化趋势的分析——加“点”优化

例2 如图1所示，电源电动势E=3 V，内阻r=1 Ω， 滑动变阻器的最大阻值R=2 Ω，将滑动变阻器的滑片从a端移到b端的过程中，滑动变阻器上的电压将（ ），滑动变阻器消耗的电功率将

A.变大 B.变小

C.先变大后变小 D.先变小后变大

解析 当滑片处于a端时，滑动变阻器未接入电路，其上电压为零，其上消耗的电功率为零；当滑片滑到b端时，整个滑动变阻器与定值电阻串联，其上电压为2 V，其上消耗的电功率为2 W.因此，仅用端值法，都会选A.

让我们对问题做一个一般性的分析.设滑动变阻器接入电路的有效电阻为Rx.随着滑片从a端到b端的移动，Rx在增大.

滑动变阻器上的电压可以表示为

URx=ERx+rRx=E1+rRx，

由于E、r均为定值，滑动变阻器上的电压是随Rx的增大而增大.这和端值法的结论相同.

滑动变阻器上消耗的电功率为

P=I2Rx=（ERx+r）2Rx

=E2Rx（Rx—r）2+4Rxr，

不难看出，当Rx=r时，P有最大值Pm=E24r；当Rxr时，P随Rx的增大而减小.所以正确答案是C，这和端值法得出的结论不同.

对解题过程进行观察，可得出以下结论：

结论1：对一个物理量变化趋势的分析本质上是对一个连续变化的函数的单调性做出判断.

结论2：对一个单调变化的函数，用端值法可做出正确的判断.如本例中对滑动变阻器上电压的判断.

结论3：对一个非单调变化的连续的过程，可以用加“点”的方法优化端值法的操作.

本例中，受选项C、D的启发，应该考虑是否单调变化的问题.具体操作是在接近两端值处再增设“观察点”，以观察函数的单调性.计算Rx=0 Ω，Rx=0.5 Ω，Rx=1.5 Ω，Rx=2 Ω时R上消耗的功率，分别是0 W、2 W、2.16 W、2 W，由这些数据，不难看出应选C.在具体的操作中，增设的“点”越趋近端值越好，但有时太靠近又会使计算更加繁琐.

3 应用于变化范围的求解——“端”“极”并用

例3 甲物体做匀速直线运动，速度大小为6 m/s，经过乙物体时，乙从静止开始做和甲同方向的匀加速直线运动，乙的加速度为2 m/s2.在1 s～4 s内，甲和乙间的距离可能为

A.6 m B.8 m C.9 m D.10 m

解析 当t=1 s时，两者距离为

Δs=s甲—s乙=（6×1—12×2×12）=5 m.

当t=4 s时，两者距离为

Δs=s甲—s乙=（6×4—12×2×42）

=8 m.

故由端值法，本题选A、B.

真是这样吗？不失一般性，甲、乙间的距离为

Δs=s甲—s乙=v甲—12at2=6t—t2，

观察此式可知：当t=3 s时，Δs=9 m.

本例中，甲、乙两者之间的距离不是随时间单调变化的，当乙的速度比甲的速度小时，甲、乙之间的距离是逐渐增大的；当乙的速度比甲的速度大时，乙将真正地在“追”甲，两者间的距离逐渐减小.所以，只算端值并不够，还要算极值.

对解题过程进行观察，可得出以下结论：

给论1：从数学上看，这是一个知道定义域（x的取值范围）求值域（y的取值范围）的问题.

结论2：如果物理量y能随物理量x做单调连续的变化，分别取最小值x1和最大值x2代入，便可求得y的范围[y1，y2].如果y随x的变化不是单调变化，则完整解应是端值和极值共同确定的范围[y1，ym]∪[ym，y2].

端值法是一种巧妙的方法，能迅速地化繁为简，但由于它是一种以殊个例推测一般情况的操作方法，在应用时也有它的局限，故用时要谨慎.