也谈如何分析高考中的数学创新题

随着高中教育的素质化发展，数学在高考中的试题也变得样式多端，不再是纯粹的理论考核，对解决问题能力以及创造能力的考核力度不断加大。创新问题是近几年高考命题的热点，这些问题多以新定义为问题背景，综合集合、函数、方程（不等式）、导数与数列等知识交汇，由于概念性强，情境新颖，解题过程中学生颇感困惑。其实，解决这类问题的关键问题在于忽略新颖的背景，没能挖掘其本质内容。学生要想在高考数学中取得优异的成绩，一定要熟悉并把握好高考数学的创新型试题所具有的特征，进而才能轻松应对新颖的试题，下面尝试对这些题目进行探究。

一、集合中的创新问题――定义数与式的运算

集合中的创新问题多以求解新定义集合运算的结果或判断结果与集合之间的关系为主，其中定义的新运算的实质就是数与式的运算，解决此类问题的关键在于利用已有的知识严格按照定义法则，把新定义运算转化为基本运算来进行运算或逻辑推理。

例1.（2011・广东）设S是整数集Z的非空子集。如果a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的。若T、V是Z的两个不相交的非空子集，T∪U=Z，且a，b，c∈T，x，y，z∈V，则下列结论恒成立的是（ ）

A.T，V中至少有一个关于乘法是封闭的；

B.T，V中至多有一个关于乘法是封闭的；

C.T，V中有且只有一个关于乘法封闭的；

D.T，V中每一个关于乘法是封闭的。

剖析：集合乘法的封闭性定义的实质是指任意两数之积还是集合中的元素，在判断集合T、V是否封闭时，要根据数集的特征灵活选择一些特殊的数集进行推理，从而排除错误的选项，得到正确的选项。此类问题的实质就是考查数集的运算。

二、函数――定义新法则、新概念

函数是创新性问题较为集中的地带，此类问题主要通过定义 新的法则和概念，然后根据新的法则或概念研究函数性质，解决这类问题关键在于对新概念、法则的准确理解。

例2.（2012・福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab，（a≤B）b2-ab，（a>b），设f（x）=（2x-1）*（x-1），且关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根，则x1x2x3的取值范围是

剖析：本题以新运算定义函数，根据运算“*”的规定把分段函数与方程、不等式有机地结合在一起，其实是研究分段函数的图象与性质，综合考查二次函数的图象、对称性、单调性、方程的根与函数的零点、不等式的基本性质等基础知识，考查考生在新问题情境中识别问题、分析问题、解决问题的能力及逻辑思维能力、基本运算能力和数形结合的思想方法。

例3.（2012・湖北）定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}、{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：

①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=lnx

则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（ ）

A.①② B.③④ C.①③ D.②④

剖析：本题以函数为载体，定义新的等比数列，主要考查等比数列的定义、性质，解题的关键是转化为等比数列，考查学生的创新运用能力。

三、情境创新――考查知识的交汇渗透

创新的问题，重视知识的交汇融合，是近年高考的新方向。

例4.（2012・陕西）设函数f（x）=lnx，（x>0）-2x-1，（x≤0），D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在D上的最大值为

剖析：本题以分段函数为载体，综合考查导数及其几何意义，简单的线性规划问题，命题情境耳目一新，既重视知识的交汇融合，又综合考查学生运用知识解决问题的能力，题目求解的关键在于：（1）求曲线f（x）在点（1，0）处的切线；（2）准确作出直线与曲线y=f（x）围成的封闭曲线。

四、“高数倩影”――函数命题创新增长点

例5.（2012・上海春考）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）

（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相等的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f（x）的图象上的两点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+b对称，求b的最小值。

剖析：本题以高等数学知识为背景，综合考查学生运用数学知识的能力与素质，解决这类问题的关键是深刻理解定义，再运用函数与方程、函数与不等式思想解决。随着高中新课程标准、新教材的使用，对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高。“出活题考能力”要求学生能综合应用所学数学知识、思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情境、新问题进行分析、探索，创新性地解决问题。