基于二叉树模型的期权定价的实证研究

【摘 要】运用Excel软件建立二叉树模型对长虹CWB1认购权证进行定价，以判断其投资价值。基于二叉树模型开展期权定价的实证研究并得到验证，计算出该期权在每个时点的价格，是这一期权合理定价的理论基础的一个重要参考。

【关键词】期权定价；二叉树模型；Excel软件

一、期权以及期权价值

期权是持有人可以选择在未来确定时间执行或者不执行某项交易的一种金融衍生工具。下面的支付函数可以描述期权的到期价值：

（1）看涨期权：f=

（2）看跌期权：f=

由以上分析我们可以知道，决定期权价值的因素主要有以下几个：（1）基础资产价格（S），这是期权价值的主要决定因素。市场价格S上升，S-K的差扩大，看涨期权的价值上升，看跌期权的价值下跌。（2）执行价格（K），当S不变的时候，执行价格上升，S-K的差减少，看涨期权的价值降低；S不变，执行价格下降，K-S的差增加，看跌期权的价值增加。（3）资产价格的波动性。对看涨期权，S的向上波动可以带来价值的增加，向下波动的最坏结果利润为0；看跌期权则是在S大于0之前，S向下波动带来价值增加，向上波动的谁最坏结果是期权为0。所以，股价的波动性越大，期权的价值越大。（4）无风险利率（R）。无风险利率上升，看涨期权投资者用于未来购买基础资产的资金K的现值减少，看涨期权价值因此增加；而看跌期权投资者未来出售资产收入的K现值减少，看跌期权价值因此下跌。（5）到期时间（T）。距离到期日的时间长度。这个时间段越长，期权价值变大的可能性越大。

二、期权定价的一般方法

首先假定在某一特定时期到下一时期，资产价格的变化只有两个可能，上涨或者下跌。其次，这个涨跌幅度为常数50%且存在固定的关系。

１．单步二叉树定价模型。现假设一项资产，基础资产一份，基于该基础资产的看涨期权一份。基础资产可以设定为一个无红利支付的股票，当前时刻t的价格为S，该期权的价值是f，期权的有效期是T。基础资产的价格上涨或者下跌就相当于硬币的正反面。在这个有效期内，股票价格可能上升到Su，或者下降到Sd。相应的，如果基础资产的价格S上升到Su，则期权价值则用fu表示，fu=S-K，如果基础资产的价格S下降到Sd，则期权的价值则用fd表示。这是一个一阶段伯努利实验，往下继续推的话，就相当于分别抛2、4等次的硬币，分别得到股票价格和期权价值的变动过程。

２．树形结构。基于以上的分析，在短期内股价的运动遵循二项分布。将时间间隔在理论上缩短到最小，在极小的时间段内，对股票价格仅有两个方向的波动的假设就成为可能。由此，二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动。由统计学知识知道，当N趋于无穷大时，二项分布就趋近于正态分布。我们来应用多步二叉树模型表示证券价格变化的完整结构：

图1 多步二叉树

３．风险中性概率。在股票价格S的二项分布中，起点为0期。经过第一阶段后到期后，资产的预期回报为μ，用q表示资产价格上升的概率，（1-q）则表示下降的概率。则资产预期回报μ为：μ=[quS+(1-q)dS]/S=qu+(1-q)d，（1-1）。假定投资者的预期回报为无风险利率Rf，令r=e，由（1-1）式我们可以推出：P=，（1-2）。在这个式子中，p是股价上升的风险中性概率；1-p是股价下降的风险中性概率，r是增长因子，在对股票支付定期股息从而存在年率化股息率q的情况下，增长因子为：r=e。因为股息支付使得资产的未来值减少，因此资产价值的增长速度也会减慢，所以必须从增长因子中减去年股息率。风险中性概率p的值在0和1之间，必须有：u＞r＞d结果出现了上升概率大于1而下降概率为负数的情况，不符合概率定义。实际上，风险中性概率并不是真正意义上的概率，而是使得风险资产的预期回报等于无风险利率的一个比率。满足我们之前的一个重要假设，风险中性概率意味着风险是没有回报的。

４．期权定价的基本步骤。第一，计算到期时对这项期权投资的各种可能值或支付的分布，期权到期只有两种支付，正数或0；第二，用对应的计算终期期望值的概率，即风险中性概率来计算资产各种可能价值的加权平均值，也就是资产的期望值；第三，用一个适当的贴现率来计算期望值的现值，得到资产的当前价格，期权所使用的贴现率就是无风险利率。

为了求出期权的价值f，我们构建如下组合：以价格S卖出一份看涨期权；买入h份基础资产，即这支无红利支付的股票。无论市场如何变化，这一投资组合在到期日时的价值是确定的，根据无套利思想，应该有hS-f=hs-f。由上式得：h=，假定风险中性世界中股票的上升概率为p，股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格， f=■，其中，风险中性概率为P=■。知道风险中性概率后，期权价格就可以通过下式求得f=■，在市场无套利机会存在的情况下，可以证明P在0到1之间，u和d的取值如下■，（1-4）。之前我们用单期二叉树模型为基础，接下来得到了两期的二叉树的分析方法，然后偶再将其推广到n期的场合。根据单期的结论，我们可以求出f：f=■。由式（1-2）可知，决定风险中性概率的三个因素是增长因子r，股价的上升概率u和下降概率d。在CRR模型中，u和d的设定为式（1-4），其中σ表示股票价格的波动性，或者说股票回报的年标准差。

三、二叉树模型的实证

（1）实验的背景材料。2010年11月8日，四川长虹的收盘价4.31，对应的长虹CWB1的认购权证的执行价为每股，到期日为2011年4月27日，现四川长虹的认购权证的交易价格为3.239，我们来研究该权证是否值得投资。（2）Excel中期权定价的准备。这一模型只需要构造股价和期权价格两个树即可。具体操作过程如下：建立空白文件“欧式看涨期权”，并对表格进行填充。在表格的单元格A30～A35中，分别输入标题“标的资产价格S”，“执行价格K”，“波动率σ”，“时间T”，“无风险利率R”，“连续股利q”。构建时段序列，长虹CWB1的认购权证从2010年11月8日，距离到期日有113个交易日。期权的生命期在这一例子中被定为113日，这个时间可以分割为任意多个有限时间段，在我们这个例子中被设定为10，因此当前的模型段长Δt=0.33/10=0.033。（3）Excel中二叉树期权定价过程。为了得到波动率，下载周收盘价如图2：

用周收盘价估算标准差为0.07756，对应的年标准差为0.5484.无风险利率则选取2011年一年期存款利率3.5%。并且，在权证到期日，四川长虹股份无股利分红，则红利记为0、然后在表单中的B30～B35中（为A序列赋值）分别输入初始值：3.239，3.48，0.5458，113，0.35，0。根据前文的设定，我们使用10期的二叉树来计算权证的价值，首先计算二叉树的上行和下行的幅度大小，即u和d的值，根据等式（1-4），树中第一行节点的股价通过前一节点的股价乘以上升因子u得到，其他各行的股价是通过左上方节点的股价乘以下降因子d得到。操作如下：将当前的股票价格输入到单元格C39中，在命令框输入“=+B30”，然后在单元格D38中，输入公式“=+C39×$B$4O”，含义为股票的市场初始价格乘以u，生成股票价格上升后的价格。若下降，股票价格则为初始价格乘以d，相应的公式为“=+C39×$B$41”。在构造二叉树的上行中，按照以上的公式那样逐个输入，依次类推，可以得出10期多步二叉树的股票价格变化，最终输入结果如图3所示。得到了各个节点长虹CVWB1的股票价格，可以开始计算在每个节点上对应的期权价格，在此，应运用逐期推倒的方法。

由以上实证结果，我们可以计算出该期权在每个时点的价格，是这一期权的合理定价。

参 考 文 献

[1]彭红枫．金融衍生工具定价

[2]郭尊光，仉志余．二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用[J]．太原师范学院学报．2011（3）

[3]詹翎皙．欧式期权模型定价探析[J]．重庆文理学院学报．2011（8）

[4]杨艳军，赵欢．期货期权及其定价分析--以铜为例[J]．理论研究．2011（8）