从算术思维到代数思维的转换初探

一、算术思维和代数思维

算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。

例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？

可以列算数式23-6=（ ）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。

我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。

二、在代数学习中可能会遇到的困难

从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？

三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略

1.从数字到符号的转换

从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。例如：某个数加上3之后等于9，试求该数是多少？在该题中，如果用算术的思维方式，通常是围绕某数来思考的，进而得知某数为6。如果用代数思维方式来解答此题，则会用符号替代，首先会列出运算式x+3=9，这时焦点就发生了转移，不是停留在某数上而是转移到这个方程式中及其解法了。因此，从数字转向符号是算术思维向代数思维转换的一个重要标志。从算术思维转向代数思维，首先要全面理解并能熟练使用符号。在具体的教学中，教师可以通过一些问题的设置来帮助学生学习对符号的使用，比如：买一个书包需要x元，而文具盒比书包便宜43元，请问买一个文具盒需要多少钱？这时可以对学生进行引导，首先列出表达式，x-43就是一个文具盒所需要的钱，一开始学生可能对这种训练不是很适应，但是经过老师的引导，让学生不断总结规律，就可以使其形成用符号来表示数的习惯。

2.从特殊到一般

真正进入代数思维，体现在代数思想上，就是从特殊到一般的思想。仅凭代数符号，在实际运算中体现的却还是算术的思想，从本质上讲还称不上是代数思维，但如果是一般化的思想就是代数思维了，因此在学习的时候单从表达形式上是看不出是否体现了代数思维的。例如：有一本书原价是35元，现在8折售出，请问便宜了多少钱？设便宜了x元，然后列出方程式x=35-35×0.8=7。在这个方程式中，虽然对符号进行了使用，但是整个解题过程依然体现的是算术的解题思想，符号并没有发挥出原本的功能和作用，这个过程只是对一个特殊题目进行求解，依然是算术思维。如果是下面的思维方式的话，就算是代数思维：书的原价为x元，打八折就是0.8x元，而书的原价是已知的，进而可以列出算式35-35×0.8=7。在这个算式中，没有任何符号出现，但是却体现了代数思维。因为通过这种方式可以解决同类型的问题，也就是体现了一般化的思维方法，即是代数思维。

3.从程序到结构

数学原理、公式和法则等的学习是建立数学语言句法结构的关键。数学是从数或形的角度对客观事物进行研究的，形式化、符号化、模型化是数学研究的主要特征，这就使得数学日益成为形式系统，包括规定数学词汇，建立数学概念系统；规定数学词汇如何构成公理的形成规则、公式变形的逻辑规则，以及作为推理的命题演算规则等，这些规则形成了数学语言的句法结构规则。在从程序向着结构转换的过程中，要对符号和变量有充分的理解。在动物园里，猴子的数量是熊猫的4倍，如果用X表示猴子的数量，用Y表示熊猫的数量，使用含有X和Y的表达式来表示这个问题。而我所教的学生中，大部分喜欢用数值性的方法来解决，对结构化的方法不能很好地理解与掌握。这时我对他们进行引导，使其用符号来表示等价性，理解字母是对变量的描述，也就是说X和Y表示不同的数量与意义，但它们之间有一定的数量上的联系，因为X是Y的4倍，所以在数量上可以这样列式：X=4Y。通过这样的练习使得学生逐渐进入结构化阶段。

在教学中我们应结合自己的实践，不断总结经验并对教学方法进行创新，为学生的后继学习打下扎实的基础，最终实现从算术思维向代数思维的转换。