关于中国古算术语“开方”的几个问题

【前言】关于中国古算术语“开方”的几个问题由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。Keywords：“kaifang”，equation with one unknown of 2 or higher degree，mathematics terms，history of mathematics in ancient China 一 “开方”及其分类术语的产生和发展 我们现在通常所说的“开方”，是指乘方的逆运算，即由A、n，求满足xn=A的x的运算。有时...

摘 要：在中国古代，开方远比乘方逆运算的范围要广，实际上是对一元二次及以上方程求数值解，它是传统数学中的一个重要T类。文章梳理了“开方”及其分类术语的历史源流与含义，考察了一些辞书对“开方”等术语的解释，并对其中不准确的解释进行了纠正。

关键词：开方，一元二次及以上方程，数学术语，中国古代数学史

中图分类号：O112；N04 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1673-8578.2017.03.015

Some Issues on the Terms about “kaifang” in Ancient Chinese Mathematics//NIU Teng

Abstract：The term “kaifang”（开方） is an important branch of mathematics in ancient China. Its meaning is much wider than the inverse operation of power. In fact， it refers to the methods and operations of finding positive roots of an equation with one unknown of 2 or higher degree. This paper discusses the origin and development of the term “kaifang” and the related terms， analyzes their historical meanings， examines the explanations of these terms in some modern dictionaries， and corrects some statements of the explanations which are not in conformity with historical facts.

Keywords：“kaifang”，equation with one unknown of 2 or higher degree，mathematics terms，history of mathematics in ancient China

一 “开方”及其分类术语的产生和发展

我们现在通常所说的“开方”，是指乘方的逆运算，即由A、n，求满足xn=A的x的运算。有时开方亦特指开平方。这一术语，来源甚古，但中国古代的开方，范围比这宽泛得多，内容也非常丰富。本文对中国古代的“开方”及其分类术语做一简单疏理，特别要纠正前人在这方面存在的若干问题。

现存文献中，“开方”这一术语最早见于《周髀算经》：“句股各自乘，并而开方除之，得……” [1]21相当于直角三角形中，已知勾a、股b，求弦c，c=a2+b2。书中未载具体运算过程，但据算理可知此书“开方”指的是开平方。值得注意的是，“开方”之后有“除之”二字。因为乘方是乘法的扩展，开方被认为是除法的扩展，所以用“除”字。这种情况在古算书中较为常见，如“开立方除之”“开三乘方除之”等。《九章算术》记载的“开方术”，也是开平方法，用算筹进行运算[2]131。宋《谢察微算经》“用字例义”中称：“开方，即自乘还原也”[3]，意为开方即开平方，程大位《算法统宗》“用字凡例”也采用上述解释[4]1230，但程氏算书中的“开方”有时并非特指开平方。

其实早在《九章算术》等书中，“开方”就不单纯是指开平方，如《九章算术》“以出北门步数乘西行步数倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之即邑方”[2] 200，《周髀算经》赵爽注“以差实减弦实，半其余，以差为从法，开方除之，复得勾矣”[1]11中的“开方除之”均指带从开平方，相当于解一次项系数不为0的一元二次方程。《张丘建算经》[5]291、李淳风注《九章算术》中有的“开方”[2]136指的是开立方。到北宋贾宪“开方作法本源”图（见图1）出现，“开方”所包含的范围更广，除了开平方、开立方等，还包含开三乘及以上方以及各种开带从方问题，所以很多算书都把开方作为一个大的重要门类进行介绍。

如杨辉称“开方乃算法中大节目”，并将“开方”分为七类：“一曰开平方，二曰（积）[开] 平圆，三曰开立方，四曰开立圆，五曰开分子方，六曰开三乘以上方，七曰带从开方。”[7]1049朱世杰《算学启蒙》中有“开方释锁门”一条，其中包含了开平方、开立方、开三乘方等[8]。元末贾亨《算法全能集》称：“开方之法有三：有平方，有直方，有立方。”[9]《九章算法比类大全》“习算之法”中称“一先要熟读九数，二要诵归除歌法……九要知勾股弦数，十要知开方各色”，该书最后一卷为“各色开方卷”[10]13-14，包含开三乘方、开四乘方、开五乘方、带从平方、带减从开平方、带减积开平方等等。王文素《算学宝鉴》引用杨辉的分类，“开方”内容更为丰富，除了包含上述七个分类，另外还有“共积开平方”“共积开立方”“三乘以上圆”等较细分类。周述学《神道大编历宗算会》称“各求方面法，用商除以开其积，谓之开方”[11]，并介绍了开平方、开立方、开三乘方、开四乘方、开五乘方的运算过程，还介绍了各类开带从方法。《数学通轨》“习数法语”也称“一先要熟读九数，……十要知开方各色”[12]1173。该书并未介绍各色开方，但书中最后一部分“九章总义”引用顾应祥的说法，对开方有所介绍：“箬溪顾氏曰：……开者，除也；阖者，乘也。……以积求形，则先得其积，而后求其长短广狭斜正之形，有非乘除之所能尽者，故必以商除之。然而商除亦不能尽也，而又立正负廉隅之法以增损附益之，故其为术也难。予见《测圆海镜》一书，荆川唐太史所录，乃元翰林学士乐城李公冶所著，虽专主于勾股求容圆容方一术，然其中间如平方、立方、三乘方、带从、减从、益廉、减廉、正隅、负隅诸法，凡所谓以积求形者皆尽之矣，故为之分其类而释其术以便下学云耳。”[12]1209如《数学通轨》所述，顾应祥《测圆海镜分类释术》和《测圆海镜》详注了多种类型的开方，前书共有开平方到开四次方的各种开方细草60多条，后书也有26条之多。清李长茂《算海说详》第四卷为开方章，介绍各类开方问题[13]。

杨辉对开方的分类较早，也比较全面，下面就依照杨辉的七个分类：开平方、开平圆、开立方、开立圆、开分子方、开三乘以上方、带从开方，依次介绍各术语的产生及发展。其中第1、3、6项与第7项都有重叠之处。

（一）开平方

《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《开元大衍历经》等书中都用到开平方，但都没有用“开平方”这一术语，而是以“开方”表示开平方。目前存留的算书中，《夏侯阳算经》中最早出现“开平方”之名[14]，即我们现在所说的开平方。其后的算书中基本都沿用“开平方”术语指代开平方，但有时亦兼指开带从平方。如杨辉《田亩比类乘除捷法》卷下引用刘益《议古根源》“置积为实，以不及步为从方，开平方除之”[7]1086，其中“开平方除之”即开带从平方法，再如《测圆海镜分类释术》中的“负隅开平方法”[15]1000-1001，相当于求解方程1250x2=18000000。所以，在古代对于求一元二次方程的正根，有的算书统称为“开平方”。

（二）开立方

《九章算术》记载了开立方法，并有“开立方”这一术语[2]133，含义与我们现在所说的开立方一致。此术语也出现在后来的算书中，大部分用来指代开立方法，但如同“开平方”含义的扩展一样，有时开带从立方也简称为“开立方除之”。如王孝通《缉古算经》第15问“幂自乘，倍多数而一，为实，半多廉法，从。开立方除之”[16]，张爵《九章正明算法》“得四千八十个为实，以二为纵方，三为纵廉，以开立方法除之”[17]，都是对开带从立方的说明。所以，在古代对于求一元三次方程的正根，有的算书统称为“开立方”。

（三）开平圆

古代把球称为立圆，平面上的圆形称为平圆。开平圆法，即已知圆面积求圆周或半径的方法，其实开平圆可归结为开平方。《九章算术》南宋本中有“开圆术”这一术语[18]271，是已知圆面积求圆周的方法。《孙子算经》[19]《张丘建算经》[5]274-275等书中也有这类问题，至杨辉《乘除通变本末》中出现“开平圆”，明代吴敬、王文素、余楷等都沿用了这一术语。其中，余楷《一鸿算法》中有“开平圆方歌”[20]，程大位《算法统宗》中有“平圆法歌”[4]1315。清李长茂《算海说详》“开方章”中有“平圆开方问径周法”[13]，清代方中通《数度衍》的“开平圆”分“积求外周法”和“积求内径法”两部分[21]，清梅成《增删算法统宗》也载有“平圆法歌”等[22]。

（四）开立圆

开立圆法即已知球体积求立圆径或立圆周的方法，可归结为开立方法。《九章算术》南宋本有“开立圆术”，是已知球体积求球径的方法[2]279。《张丘建算经》中载有已知立圆（球）体积求其直径的问题[5]290。李淳风注《九章算术》中说到“祖之开立圆术曰：以二乘积，开立方除之，即立圆径”[2]137。意思是以2乘体积，对它做开立方除法，就是立圆的直径。后来这一术语也发现于《九章比类》《算学宝鉴》等书中。其中，《算法统宗》载有“立圆法歌”[4]1324，《算海说详》“开方章”中有“立圆开方问径法”一条，《数度衍》的“开立圆”分“积求外周法”和“积求内径法”两类，《增删算法统宗》也载有“立圆法歌”等。

除了开平圆和开立圆问题，王文素《算学宝鉴》中还载有“三乘以上圆”问题，并有歌诀：“算家若要开圆积，积乘方率通为实。圆率为隅列下张，开方取径无差失。”[23]927

（五）开分子方

开分子方即分数开方问题，也可归于开平方、开立方、开三乘以上方等各类中。这里提到两种情况，一种是分母可以直接开出整数来，则对分子和分母分别开方；另一种是分母不能直接开出整数来，这时通过分子、分母同时乘以一个或几个数，使分母可以直接开出整数来，便可化为前一种情况，此术的重点在于求分子的方根或其近似值。因为强调分子的开方，所以称为“开分子方”。《九章算术》详述了分数开平方和分数开立方问题，如对分数开平方，“若实有分者，通分茸游定实，乃开之。讫，开其母，报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。”[18]269对分数开立方也有类似说明[18]277。现存算书中，杨辉《算法通变本末》中始出现“开分子方”术语[7]，王文素《算学宝鉴》也载有此类问题，第十六卷有“平方带分子”[23]560，第三十五卷有“开分子立方”[23]853等。总体说来，专门论述分数开方问题的古代算书还是比较少的。

（六）开三乘以上方

“开n乘方”，表示开（n+1）次方，或求一元（n+1）次方程的数值解。按杨辉的分类，开三乘以上方，包含开三乘方。现存的中国古代资料中，贾宪最先记载了直接开三乘方的方法，称为“递增三乘开方法”[6]1426。其后，秦九韶、朱世杰、吴敬、王文素、程大位等都载有开三乘方等问题。如王文素《算学宝鉴》中的“置积一千五百二十五亿八千七百八十九万六百二十五尺为实，以一为隅算，开七乘方除之”[23]926，相当于求8152587890625。有时开三乘带从方法亦称为“开三乘方除之”，如杨辉《田亩比类乘除捷法》的一则题目，术曰：“倍积，自乘为实。四因积步为上廉，四因径步为下廉，五为负隅，开三乘方除之，得矢。……”[7]1093，相当于求一元四次方程-5x4+52x3+128x2=4096的数值解。

（七）带从开方

带从开方，也叫开带从方，不止包含带从开平方、带从开立方，还包括带从开三乘以上方。《九章算术》中就有带从开平方问题，出现“从法”这一术语，但是没有运算过程[2]200，此方法是开平方法求次商及以后各商的程序，所以该书仍用“开方除之”代之，并未出现“带从开平方”或“开带从平方”等术语。此外，《算法全能集》中的“直方”，也可能是指带从开平方。秦九韶《数书九章》中的“开连枝三乘方”“开翻法三乘方”“开玲珑翻法三乘方”等都属于带从开三乘方，书中还有“开玲珑九乘方”，即带从开九乘方[24]。吴敬、顾应祥、周述学、王文素、程大位等也都载有丰富的带从开方问题。

另外，不少算书也对“开方不尽”问题进行了阐释，如《九章算术》《算学宝鉴》《算法统宗》等分别对开平方不尽、开立方不尽问题进行了说明，并给出了解决办法。

综上，“开方”最开始是指开平方或者开带从平方，后来针对开立方等也说“开方除之”。随着数学的高度发展，开方逐渐成为一个大的门类，也能够解决开四次及以上方以及各类带从开方问题。总的来说，在中国古代，开方是求解一元二次及以上方程的数值解的一类问题。“开平方”“开立方”“开三乘方”等术语不仅可指开平方、开立方、开三乘方等，有时，带从开平方、带从开立方、带从开三乘方也分别简称为“开平方除之”“开立方除之”“开三乘方除之”。“带从开方”一般专门指带有“从法”的开方问题。

二 一些辞典对“开方”及其分类术语的解释存在问题

我们在研读工作中发现，一些辞书中有关开方的术语之解释存在这样那样的问题。因此本文将对这些问题做一简要的讨论。中国传统数学中，很早就有筹算开方法，后来在此基础上又发展为珠算开方法，因此下面将以涉及“开方”及相关古算术语较多的《数学辞海》和几部珠算辞典为主，分析它们对“开方”等术语的解释，以考察是否符合其历史含义。其他辞书如《大辞海・数理化力学卷》的“中国古算”[25]50、《中国大百科全书・数学》的“中国古代数学计算方法”[26]部分关于开方只介绍了“增乘开方法”。

关于“开方”，《大辞海・数理化力学卷》对它的历史含义解释得较全面：“中国传统数学中指求二次及高次方程（包括二项方程）的正根。《九章算术》少广章提出了世界上最早的多位数开平方、开立方程序，宋元时发展为增乘开方法。”[25]59但更确切地说是求一元二次及高次方程的正根。《数学辞海》第6卷称是“开平方的方法”，并举例《九章算术》中的“开方术”特指开平方运算[27]42，但《九章算术》有一例解中的“开方除之”指的是带从开平方法。《世界珠算通典》[28]72《中华珠算大辞典》[29]85和《珠算小辞典》[30]将“开方”均解释为“乘方的逆运算”，和现代数学对开方的解释相同，不符合珠算开方的含义。

关于“开平方”，《数学辞海》中没有对“开平方”一词的解释，根据它对“开方”的解释，也许它将“开方”当成开平方的古算术语。《世界珠算通典》[28]345《珠算小辞典》[30]对“开平方”的解释基本相同，均将求非负实数方根的运算叫作开平方。《中华珠算大辞典》解释“开平方除”指开平方运算，简称为开方除，并称“《九章算术》和其他古算书中，把解二次方程（带纵开方）的方法，也称作开方除（之）。”[29]88除了《中华珠算大辞典》对“开平方”的解释较符合其本意，其他辞书的解释都比较片面。

关于“开立方”，《数学辞海》等辞书均解释为“开立方的方法”，只有《中华珠算大辞典》做了补充：“《缉古算经》等古算书中，把解三次方程（带从开立方）的方法，也称作开立方除。”[29]90

关于“开平圆”“开立圆”，三部珠算辞典都没有对这两个术语进行解释和介绍，其实程大位《算法统宗》、李长茂《算海说详》等珠算书中均载有这两类问题。《数学辞海》没有介绍“开平圆术”，对“开立圆术”进行了解释：“指已知球体积，求球直径的方法”[27]42，但开立圆术还包含已知球体积求球的大圆周长（称为“求立圆周”）的方法，如《数度衍》等书中就载有此类问题。

关于“开带从平方”，也称为“带从开平方”，《数学辞海》对此术语解释如下：“指求形如x2+Bx=AA>0，B>0的一元二次方程的正根的一种解法”[27]48，忽略了二次项系数不为1，A和B不一定大于0的情况，如《测圆海镜分类释术》中有相当于求解形如4x2-1248x-92160=0的一元二次方程的方法，书中称之为“负隅减从开平方法”[15]1003；《算法统宗》中求解形如x2-60x-864=0的“减从开平方法”[4]1314，其实都属于“带从开平方法”一类。《世界珠算通典》[28]122和《中华珠算大辞典》[29]297的解释：“古代把二次方程x2+ax=b中的一次项系数a叫‘从法’，后来中算家即把解二次方程称为‘带从开平方’。”除了存在与《数学辞海》相似的错误以外，后半句中忽略了当一次方程a=0时，即为开平方法。

关于“开带从立方”，也称为“Т涌立方”，各辞典对此术语的解释仍出现了同上对“开带从平方”解释不全面的问题。如《数学辞海》解释为：“指求形如x3+Bx2+Cx=AA>0，B>0，C>0的一元三次方程的正根的一种方法。”[27]48《世界珠算通典》称，中国古代将形如x2x+p=qp，q>0；xx+p2=qp，q>0；xx+px+q=rp，q，r>0之三次方程的解法称为带从开立方或开带从立方[28]121。这个说法是很不准确的，其实这类形式中有些只存在于列出开方式的过程中，还没有进入到马上可以开方的阶段。《中华珠算大辞典》说：“解含有一次项的三次方程，称为‘带从开立方’。”[29]297上述解释都忽略了三次项系数不等于1、二次项系数不为0的一元三次方程的情况，对各项系数符号的说明也过于片面。如《九章比类》中有相当于求解3x3+60x2+400x-304000=0的一元三次方程的方法，吴氏称之为“带从方廉隅算开立方法”[10]314。

关于“开三乘以上方”（相当于求4次或更高次方程的数值解），以上辞书没有解释。《数学辞海》中有“开诸乘方”与之相关，其解释为：“将开平方、开立方算法推广到开更高次方，是中国古代数学家在《九章算术》‘开方术’基础上，借助于‘开方作法本源图’发展起来的一种算法”[27]52，但也不甚准确，因为有的四次以上开方并不用“开方作法本源图”（即贾宪三角），如开高次方的增乘开方法就不用这个图表，明代朱载郑1536―1611）开12次方时也不用，而是化为两次开平方、一次开立方来解决。

关于“开带从方”，也称为带从开方，以上辞书中均未对此术语进行介绍，也没有对开三乘带从方等开方法的解释和说明，这类问题在《数书九章》《四元玉鉴》《九章比类》《算学宝鉴》《测圆海镜分类释术》《神道大编历宗算会》等算书中均有涉及。如朱世杰《四元玉鉴》卷上“和分索隐”门第13问中有：“得一百六十九万五千二百五十二为益实，三千九百六十为从方，一千七百二十九为从上廉，二千六百四十为益下廉，五百七十六为从隅，三乘方开之，得平。……”[31]，相当于解四次方程576x4-2640x3+1729x2+3960x-1695252=0[32]。

根据上述对一些辞书在解释有关“开方”及其分类术语时存在的问题之分析，我们可以用现代数学语言将修正后的结果概括如表1。

三 结 语

上面简要论述了“开方”及其分类术语的使用和含义的历史发展。同时，我们也发现，一些辞典对这些术语的解释不少地方不符合历史事实。一个普遍的问题是缩小了不少术语本身的含义。特别是各类珠算辞典对开方的介绍，没能充分体现出珠算开方法本身的特点，比如用算盘可以求一元二次及高次方程的正根，并有相应珠算开方法，但这些珠算辞典却只是对有关开方的术语做出笼统的介绍，掩盖了算盘的功能。所以，建议各类书籍或辞典在介绍开方的历史，或解释中国古代有关开方的术语时，应尽量全面、真实而完整地反映历史事实，做到既符合本义，又能起到普及的作用。

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