灵活运用勾股定理解决实际问题

勾股定理作为一个古老并且应用广泛的定理，以其简单优美的形式、深邃丰富的内容，反映了直角三角形中三条边的关系，体现了蕴含在数学中的和谐关系，一直被数学界所重视. 因而，它成为了数学界最重要的定理之一.

在八年级的《勾股定理》这一章的学习中，我们需要熟练掌握并且灵活运用这一定理解决实际问题，这就需要我们具备良好的数学意识，掌握一定的数学思想以达到事半功倍的效果. 下面举例说明.

一、 运用方程思想结合勾股定理解题

通过设立未知数，建立方程来解决问题，在解题中应用也很广泛. 如题：

在矩形ABCD中，我们将矩形沿直线BD折叠，使BC边交AD于E，已知AB=4，BC=8，求SBED.

【分析】显然，欲求BED的面积，我们只需求出线段DE的长，由于题目中给出的条件是折叠，那么我们知道：∠1=∠2，又AD∥BC，得∠1=∠3，所以BE=DE.

设DE=x，则BE=x，AE=8-x，

在直角ABE中，AB2+AE2=BE2，即42

+（8-x）2=x2，

解得x=5，

所以DE=5，

从而SBED=■×4×5=10.

二、 运用分类讨论思想结合勾股定理解题

数学中的分类讨论就是将所研究的对象按可能出现的情况不重复不遗漏地分别加以分析，从而获得问题的完整解答. 如题：

已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m

-1）=0.

（1） 求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2） 若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长.

（1） 证明：Δ=（m+2）2-4（2m-1）=（m

-2）2+4，

在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即Δ≥4，

关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根.

（2） 根据题意，得12-1×（m+2）+（2m

-1）=0，

解得，m=2，则方程的另一根为3.

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为■，该直角三角形的周长为1+3+■=4+■；

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2■，则该直角三角形的周长为1+3+2■=4+2■.

三、 运用数形结合思想结合勾股定理解题

数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，通过对图形的深刻认识和数形转化，将抽象的数学语言表现在几何图形上，从而发现量的关系，化抽象为具体，最终问题得解. 如题：

在由单位正方形组成的网格图形中，标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中哪三条线段能组成一个直角三角形？

【分析】该题中既有组合的应用，又有勾股定理及其逆定理的应用，又有数形结合思想的应用，实为数形结合解题的典范.

由图可知，AB2=8，CD2=20，EF2=5，GH2

=13，因为AB2+EF2=GH2，所以AB，EF，GH这三条线段能组成直角三角形.

勾股定理是每年中考命题的必选内容，命题形式千变万化. 同学们需要牢固掌握基本知识点，将勾股定理与其他知识点充分结合，透过现象看本质，便可达到解题目的.

南通市第三中学“勾股定理”测试卷参考答案

1. B 2. D 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. C 9. D 10. B

11. 15，144，40 12. 16 13. 170 14. 7或32 15. 24 cm2 16. 25

17. 设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，有（3m）2

+（4m）2=（5m）2，所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形. 18. 3

19. 证明：（1） 连接AC. ∠ABC=90°，AB2+BC2=AC2. CDAD，AD2+CD2=AC2. AD2+CD2=2AB2，AB2+BC2=2AB2，BC2=AB2，AB>0，BC>0，AB=BC.

（2） 过C作CFBE于F. BEAD，CFBE，CDAD，∠FED=∠CFE=∠D=90°，四边形CDEF是矩形. CD=EF. ∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∠BAE=∠CBF，在BAE与CBF中，∠AEB=∠BFC，∠BAE=∠CBF， AB=BC.BAE≌CBF. （AAS）AE=BF. BE=BF+EF=AE+CD.

20. 解：画出如图所示的示意图， 在ABC中，因为AC=2×30=60，AB=2×40=80，BC=100，所以AC2+AB2=602+802=3 600+6 400=10 000=1002=BC2.

所以ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，180°-35°-90°=55°.

答：乙船应按南偏东55°的角度航行.