《医用高等数学》微分中值定理的教学研究

【摘要】对Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等三个微分中值定理采用完全不同于现行所有教材体系的模式进行教学，在一定程度上解决了课时紧张的矛盾。

【关键词】微分中值定理；教学内容体系；一般到特殊

1、引言

作为导数应用的理论基础，微分学的几个中值定理在《高等数学》中具有重要的地位。在现有《高等数学》教材的教学内容体系中，三个微分中值定理的编排顺序均是Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理。这样处理的最大优点就是循序渐进，由浅入深；其次是讲授辅助函数的设计思想。然而事物都是一分为二的，这样编排教材内容也有不足：第一，占用课时太多，对于课时紧张的非数学专业矛盾比较突出，对于课时极为紧张的医学类专业更是不可能完成这种内容编排的计划，更谈不上实现辅助函数设计教学应该达到的目标。我们在长期的教学过程中，根据一般到特殊的认识认识规律，综合分析三个中值定理的内在联系，按照与教材完全相反的内容顺序进行教学，收到了较好的效果：整个体系以及证明很简捷，加上我们在许多其他“板块”中也对内容进行了类似处理，很大程度上缓解了课时紧张的矛盾。更重要的，这样处理，与“精简课时，提高效率，加强训练”的国际教改大趋势和教育部有关文件精神不谋而合。

2、一个引理

引理设函数、满足条件：

（1）、于连续；

（2）、于可导；

（3）

则，使

证明据条件（1）、（2）可知：

①于连续；

②于可导。

又根据条件（3）有：

讨论：

Ⅰ、若（常数），则

，

可见，取内任一点为，结论均成立。

Ⅱ、若，，则由①可知于中某点取得最大（小）值，并且亦为极值点，又由②可知，故结论成立。

综上，引理得证。

3、三个中值定理

在上段引理中加上条件非0，立得Cauchy中值定理：

定理1（柯西中值定理）：若、满足：

（1）、于连续；

（2）、于可导；

（3），。

则，使：

。

评注2：在定理1中令，则得Lagrange中值定理：

定理2（拉格朗日中值定理）：若函数满足条件：

（1）于连续；

（2）于可导。

则，使：

。

评注3：在定理2中，若满足，则得Rolle中值定理：

定理3（罗尔中值定理）：若函数满足条件：

（1）于连续；

（2）于可导；

（3）。

则，使：

。

4、结论

关于辅助函数的构造则在习题课上加强。以上教学尝试也在我校生物医学工程、电子信息工程、计算机科学与技术、信息管理与信息系统等信息与工程类专业多次实践，均收到良好效果。

参考文献：

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[10]同济大学数学系编.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2010(3).

基金项目：浙江省新苗科技计划项目《个性化拟人模特建模研究》（项目编号：2010R413016）资助；浙江省教育厅项目资助《基于温州地区产前筛查数据的统计建模》（项目编号：Y200906831）资助。

作者简介：

戴依依，现就读于温州医学院信息与工程学院08计算机科学与技术专业。

王利超，武汉大学硕士研究生毕业，温州医学院信息与工程学院数学教研室讲师，主要从事数理统计方面的教学与研究。

吴晓超，现就读于温州医学院信息与工程学院08信息系统与信息管理专业。

盛亚英，现就读于温州医学院信息与工程学院08级计算机科学与技术专业。

通讯作者：白宝钢，浙江大学硕士研究生毕业，温州医学院信息与工程学院教授，主要从事数学模型与计算机仿真等领域的研究工作。