有理函数中Julia集爆炸的新例子

摘要: 证明了对于任意自然数n(≥2)，存在n次有理函数，使其Julia集为整个扩充复平面，这些有理函数与前人找到的例子不共形共轭.

关键词: 有理函数；Julia集；Fatou集；临界点；同期循环

中图分类号:O174.4

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)03-0185-03

New Examples of the Explosion of Julia Set in the Rational Function

PU Tongguan

(School of Mathematics, Yunnan Normal University, Kunming 650031, China)

Abstract:

For any natural number n(≥2), there is a rational function of degree n which makes the Julia set of the rational function be the entire complex sphere. These examples are different from previous ones.

Key words:

rational function；Julia set；Fatou set；critical point；periodic cycle

1 问题的提出及主要结果

本文使用复解析动力系统中的标准记号［1］.20世纪80年代以来，复解析动力系统这一领域受到了广泛的关注，已成为国际上公认的复分析的主要研究方向之一.许多国际上著名的数学家如：Douady，Hubbard，Thurston，Baker和Yoccoz等均在这一研究领域做出了杰出的贡献.目前研究领域的突出特点是拓扑学、代数学理论以及现代分析理论的综合运用，特别是近年来大型电子计算机的飞速发展，给研究工作提供了有效的实验工具，人们借助先进的快速计算和模拟手段实现了历史上的许多梦想，也为这一学科的发展进一步提供了可靠的原始素材.

在动力系统的研究中，对Fatou集和Julia集结构的研究是非常重要的，由于Julia集一般呈分形的结构，所以较为复杂，极难刻画.Julia集是非空的，它或为整个Riemann球面或者具有空的内部，早在1918年，Lattes就找到了一个Julia集为扩充复平面的有理函数，即

P(z)=(z2+1)24z(z2－1) .

Lattes利用Weierstrass椭圆函数的性质来对此进行证明.另外一个Julia集为扩充复平面的有理函数是Q(z)=(z－2z)2，根据共轭函数的性质我们知道，与P(z)共轭的有理函数，其Julia集为C，相应地，与Q(z)共轭的有理函数，其Julia集也为C.本文给出了任意n(≥2)次有理函数，它们的Julia集为整个Riemann球面.

定理 对任意的自然数n(≥2)，则方程

－λ3(1－n)n－1nn2－2((－n)n－λ(1－n)n－1)n+［((－n)n－λ(1－n)n－1)n－λ2(1－n)n－1nn2－2］n=0

在(－∞，－1)中至少有一个根λ0，使有理函数R(z)=λ0z(1－z)n的Julia集是C.

2 几个引理的介绍

引理1［2］ 设θ为无理数且满足Siegel型的丢番图条件，则对于任意的自然数n(≥2)，有理函数Rλ(z)=λz(1－z)n（其中λ=e2πiθ）的Fatou分支循环一定不存在Herman环循环.

引理2［3］ 设{Ω1，Ω2，…，Ωq}为有理函数R的一个Siegel盘或Herman环循环，则CR+的闭包包含Ωj(j=1，2，…，q).

引理3［1］ （分类定理）设F为有理映射R的Fatou集，F0为F的一个向前分支，则F为下5五种类型之一：1）吸性分支； 2）超吸性分支； 3）抛物分支； 4）Siegel盘； 5）Herman环.

引理4［4］ 设f(x)在［a，b］上连续， f(a)与f(b)异号，那么在［a，b］内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0.

引理5［3］ 设R为deg(R)≥2的有理函数，则R的每个吸性（超吸性）循环的直接吸性域中至少含有R的一个临界点.

引理6［3］ 设R为deg(R)≥2的有理函数，则R的每个中性循环的直接吸性域中至少含有R的一个临界点.

3 定理的证明

由引理1知，Rλ(z)=λz(1－z)n没有Herman环.又Rλ′(z)=λ(1+(n-1)z)(1-z)n+1，可知CR={11－n，1，∞}.对任意的满足定理条件的λ，可知0为Rλ(z)的一个斥性不动点.因为Rλ(z)的所有系数均为实数，所以Rλ(z)的所有临界值均为实的，则引理2即临界点与Siegel盘循环的关系知Rλ(z)无Siegel盘.接下来，由Sullivan定理及分类定理，即引理3，我们只需要证明对任意满足条件的λ，Rλ(z)没有吸性分支，超吸性分支以及抛物分支即可.显然，对任意的λ满足定理的条件，1最终被映到斥性不动点z=0，所以1∈J(Rλ).对z=11－n以及λ∈(－∞，+∞)，下面等式成立.

浦同贯：有理函数中Julia集爆炸的新例子

Rλ(11－n)=λ(1－n)n－1(－n)n，

Rλ2(11-n)=λ2(1-n)n-1(-n)n2-n［(-n)n-λ(1-n)n-1］n，

Rλ3(11-n)=λ3(1-n)n-1nn2-n((-n)n-λ(1-n)n-1)n2-n［((-n)n-λ(1-n)n-1)n-λ2(1-n)n-1nn2-n］n.

令Rλ3(11-n)=1，则我们就有

－λ3(1－n)n－1nn2－2((－n)n－λ(1－n)n－1)n+［((－n)n－λ(1－n)n－1)n－λ2(1－n)n－1nn2－2］n=0.（1）

下面我们证明存在λ0∈(－∞，－1)，使得λ0满足上面这个方程（1）.

设

f0(λ)=－λ3(1－n)n－1nn2－2((－n)n－λ(1－n)n－1)n+［((－n)n－λ(1－n)n－1)n－λ2(1－n)n－1nn2－2］n则f0(－1)=(1－n)n－1nn2－n((－n)n+(1－n)n－1)n2－n+［((－n)n+(1－n)n－1)n－(1－n)n－1nn2－n］n

当n为偶数时

f0(－1)=－(n－1)n－1nn2－n((n)n－(n－1)n－1)n2－n+［((n)n－(n－1)n－1)n+(n－1)n－1nn2－n］n>0.

当n为奇数时

f0(－1)=(n－1)n－1nn2－n((－n)n+(n－1)n－1)n2－n+［((－n)n+(n－1)n－1)n－(n－1)n－1nn2－n］n

当n为偶数时

f0(λ)=－λ3(1－n)n－1nn2－2((－n)n－λ(1－n)n－1)n+［((－n)n－λ(1－n)n－1)n－λ2(1－n)n－1nn2－2］n－∞(λ－∞).

当n为奇数时

f0(λ)=－λ3(1－n)n－1nn2－2((－n)n－λ(1－n)n－1)n+［((－n)n－λ(1－n)n－1)n－λ2(1－n)n－1nn2－2］n+∞(λ－∞).

于是由零点的存在性定理，即引理4知存在λ0∈(－∞，－1)，使得（1）式成立.因此我们就有.由于1最终被映到斥性不动点0，且∞也被映到斥性不动点0，从而由临界点与吸性（超吸性）循环以及临界点与中性循环之间的关系即引理5和引理6，我们知道FRλ0无吸性分支，超吸性分支以及抛物分支.故当λ满足定理的条件时有J(Rλ)=C.从而定理得证.

4 注记

定理中找到的有理函数Rλ0不属于前述的Julia集“爆炸”的有理函数的共轭等价类中，首先Rλ0与Lattes找到的有理函数P(z)=(z2+1)24z(z2－1)不共轭，其次Rλ0和Q(z)=(z－2z)2也不共轭.

在对有理函数Julia集“爆炸”的研究中，我们有这样的结论：

定理1［3］ 设R为度d≥2的有理函数，如果R的所有临界点均为预周期的，则J(R)=C.

事实上，上述出现的有理函数均能归入一类，因为它们都满足这个定理1中的条件.关于Julia集“爆炸”的现象，我们还有一些其它的结论，例如Herman给出了一维参数集的稠密子集确保了Julia集为C的有理函数的存在性，然而这样的稠密子集却不能描述得很清楚，所以这个结果并没有给出新的Julia集“爆炸”的精确的例子.Rees给出了如下的一个有关复解析有理函数族的结果：所有的固定度d≥2且其Julia集为C的有理函数构成了一个具有正测度的子集.Nninger和Peherstoper［5］ 给出了一族新的实解析有理函数，其Julia集为C，他们在文献［5］中证明了如下定理：

定理2 设R为度d≥2的实有理函数，且存在实数区间(a，b)(a，b∈J(R))使得R(R)［a，b］，在(a，b)上有φR

上述定理中R=R∪{－∞，+∞}，CR是指R的临界点集，φR指的是R的Schwarz导数.易见，定理中的Rλ0为实的有理函数，但它明显不满足这个定理的条件.

参考文献:

［1］BERDON A F.Iteration of rational function［M］.New York: Springer-verlag，1991.

［2］浦同贯.两族含参有理函数的动力学性质［D］.昆明：云南师范大学，2009.

［3］任福尧.复解析动力系统［M］.上海：复旦大学出版社，1997.

［4］陈传璋，金福临.数学分析（上册）［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［5］INNINGER C，PEHERSTOPER F.A new simple class of rational functions whose Julia set is the Riemann sphere［J］.J London Math Soc，2002，65(2)：453-463.