动力系统极小性的两点注记

摘要:讨论动力系统的极小性,根据系统有无孤立点对极小系统进行了分类,并给出了两极小系统的乘积仍为极小系统的充要条件.

关键词:极小性; 极小集; 分类; 乘积空间

中图分类号:O193

文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)03-0188-02

Two Notes on Minimality in Dynamical Systems

REN Yunli, LIU Jifa,DI Congna，LU•• Jinfeng

(Department of Mathematics and Physics, Hebei Normal University of Science and Technology, Qinhuangdao 066004, China)

Abstract:

Minimal systems are classified according to an isolated point existing or not. As for the product of two minimal systems, the necessary and sufficient condition for the map to be minimal is given.

Key words:minimality; minimal set; classification; product system

1 引言及预备知识

在动力系统理论中,极小性是从拓扑学的角度描述系统的不可分解性,即极小系统无真的闭子系统.因此,极小性一直是动力系统中一个非常重要的研究课题,相应的研究成果不胜枚举.文献［1-2］给出了紧致极小系统的几种等价定义. 文献［3］对2种特殊同胚映射的极小性，给出了等价的描述. 文献［4］讨论了群作用的极小性和遍历性之间的关系.关于极小性的其他研究结果可参见文献［5-7］.本文将借助孤立点对极小系统进行分类.同时,对两极小系统的乘积系统是极小的,给出等价的描述.

首先我们来介绍极小映射的概念和相关引理.

定义1［1］ 设f:XX是X上的连续映射.如果非空闭f－不变子集YX不包含非空真闭f－不变子集,则称Y为f的一个极小集.如果X自身是一个极小集,则称f是极小的.

引理1 设f:XX是X上的连续映射. Y是闭的非空f－不变子集.则Y是极小集当且仅当对每一个y∈Y，orb(y)=Y.

证明 先证必要性.假设存在x0∈Y使得orb(x0)Y.那么,显然, orb(x0)是Y的非空真闭子集.下证orb(x0)的f－不变性. 事实上,对每一个x∈orb(x0), 存在fnkx0∈orbx0,使得fnk(x0)x(k∞).f的连续性表明f［fnk(x0)］f(x)(k∞), 即fnk+1(x0)f(x)(k∞).故fx∈orb(x0). 因此, orb(x0)是Y的非空真闭f－不变子集,这与Y的极小性矛盾.

反过来, 假设Y不是极小的. 则Y包含一个非空真闭f－不变子集ZY. 因此,对每个z∈Z,有orbzZY,这与orbz=Y矛盾.

2 主要结论

定理1 系统(X,d)的极小集或者没有孤立点或者是1条周期轨道.

证明 首先我们断言:如果极小集Y有孤立点x, 则对每一个y∈Y，有x∈orb(y).事实上, Y的极小性和引理 1 表明orby=Y(y∈Y).如果存在y∈Y，使得xorb(y)，则存在yn∈orb(y)(n∈N)，满足：yn≠x(n∈N)并且ynx(n∞)，这与x是孤立点矛盾. 因此上述断言成立.

特别的，x∈orb(f(x)).故可设fk［f(x)］=x.那么, fk+1［f(x)］=f(x)，这表明f(x)是周期点.而由Y的极小性可知Y=orb(f(x)).因此Y是1条周期轨道.

定理2 设f:XX和g:YY是紧致度量空间上的极小映射.则f×g是极小的当且仅当对每个x∈X和y∈Y，（x,g(y))∈orb+f×g(x,y)且(f(x),y)∈orb+f×g(x,y).

证明 首先我们断言：对每个x∈X和y∈Y，

orb+f×g(x,y)=orb+f(x)×orb+g(y)当且仅当对任意的x∈X和y∈Y，有(x,g(y))∈orb+f×g(x,y)且(f(x),y)∈orb+f×g(x,y).

事实上，由于(x,g(y)),(f(x),y)∈orb+f(x)×orb+g(y)，因此必要性是容易的.接下来证明充分性.显然orb+f×g(x,y)orb+f(x)×orb+g(y)，因此只需证明orb+f(x)×orb+g(y)orb+f×g(x,y).由(x,g(y))∈orb+f×g(x,y)可知，orb+f×g(x,g(y))orb+f×g(x,y)成立.由于（x,g2(y))∈orb+f×g(x,g(y))，故(x,g2(y))∈orb+f×g(x,y).因此，由数学归纳法可知，对每一个x∈X，

y∈Y和n∈N，有

(x,gn(y))∈orb+f×g(x,y).（1）

同理，（f(x),y)∈orb+f×g(x,y)表明对每一个x∈X，y∈Y和n∈N，有

(fn(x),y)∈orb+f×g(x,y).（2）

由(1)和(2)可知，对任何k∈N，x∈X和y∈Y，有任蕴丽，刘继发，邸聪娜,等：动力系统极小性的两点注记

(fk(x),gn(y))∈orb+f×g(x,y),n=0,1,….

故 {fk(x)}×orb+g(y)orb+f×g(x,y).因此∪∞k=0{fk(x)}×orb+g(y)orb+f×g（x,y).从而有

orb+f(x)×orb+g(y)orb+f×g(x,y).

结合上述断言及f和g的极小性可知, 对每一个x∈X和y∈Y有

orb+f×g(x,y)=orb+f(x)×orb+g(y)=X×Y.

由此可得f×g的极小性.反过来，f，g和f×g 的极小性表明orb+f(x)×orb+g(y)=orb+f×g(x,y).因此，由上述断言可知，对每一个x∈X和y∈Y，有(x,g(y))∈orb+f×g(x,y)并且(f(x),y)∈orb+f×g(x,y).

参考文献:

［1］MICHAEL B, GARRETT S. Introduction to dynamical systems［M］. Cambridge:Cambridge University Press, 2002.

［2］ WALTERS P. An introduction to ergodic theory［M］. Berlin:Springer-Verlag, 1982.

［3］任蕴丽，吕金凤，何尚琴,等. 动力系统极小性的两个充要条件［J］. 河北北方学院学报:自然科学版, 2009, 25(3):1-3.

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［5］MARCIN K. Measue of minimal sets for certain discrete dynamical systems［J］. Topology and its applications, 2007,154(13):2558-2560.

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