一道课本例题的五个变式

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征，改变问题的条件或结论，转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究 “变”的规律的一种教学方式.

（人教A版高中数学教材选修2-2第85页例1）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证ABC为等边三角形.

变式1 在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证ABC为等边三角形.

证明 由A，B，C成等差数列，可知B= .由余弦定理有b2=a2+c2-ac，又a，b，c也成等差数列，所以b= .将b= 代入b2=a2+c2-ac，得 =a2+c2-ac，整理得3（a-c）2=0，则有a=c，从而有A=C.

又B= ，所以A=B=C= .

故ABC为等边三角形.

变式2 在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，cos C成等比数列，a，b，c成等差数列，求证ABC为等边三角形.

证明 由于cos A，cos B，cos C成等比数列，所以有cos2B=cos Acos C，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），整理得2cos2B=-cos B+cos（A-C）. ①

又a，b，c成等差数列，所以2sin B=sin A+sin C，即4sin cos =2sin cos .

由于cos = sin ≠0，所以2sin = cos ，即cos（A-C）=2cos2 -1=8sin2 -1=3-4cos B.②

将②代入①，得2cos2B+5cos B-3=0，解得cos B= 或cos B=-3（舍去）.又0

将③代入①，得cos（A-C）=1.

由于-π< A-C

故ABC为等边三角形.

变式3 在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，cos C成等比数列，a，b，c成等比数列，求证ABC为等边三角形.

证明 由于cos A，cos B，cos C成等比数列，所以有cos2B=cos Acos C，即2cos2B=cos（A+C）+cos（A-C），整理得2cos2B=-cos B+cos（A-C）. ①

又a，b，c成等比数列，则有sin2B=sin Asin C，所以2sin2B=cos（A-C）+cos B，即cos（A-C）=2sin2B - cos B.②

将②代入①，得2cos2B+cos B-1=0，解得cos B= 或cos B=-1（舍去）.

又0

将③代入①，得cos（A-C）=1.

由于-π

故ABC为等边三角形.

变式4 在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，cos C成等差数列，a，b，c成等差数列，求证ABC为等边三角形.

证明 由于cos A，cos B，cos C成等差数列，所以有2cos B=cos A+cos C=2cos cos ，整理得cos = . ①

又a，b，c成等差数列，则有2sin B=sin A+sin C，所以4sin cos =2sin cos .

由于cos = sin ≠0，所以2sin = cos .②

将①代入②，得cos B=2sin2 =1-cos B，即cos B= .

又0

将③代入②，得cos =1.

由于- < < ，所以 =0，即A=B=C= .

故ABC为等边三角形.

变式5 在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A，cos B，cos C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证ABC为等边三角形.

证明 由于cos A，cos B，cos C成等差数列，所以有2cos B=cos A+cos C=2cos cos ，整理得cos = ，则有

cos（A-C）=2cos2 -1= -1. ①

又a，b，c成等比数列，则有sin2B=sin Asin C，所以2sin2B=cos（A-C）+cos B，即

cos（A-C）=2sin2B-cos B.②

将①代入②，得5cos2B+4cos B-3=2cos3B，即4cos2B+4cos B-3=2cos3B-cos2B.分解因式有（2cos B-1）（cos B+1）（cos B-3）=0，解得cos B= ，cos B=-1（舍去）或cos B=3（舍去）.

又0

将③代入②，得cos（A-C）=1.

由于-π

故ABC为等边三角形.

小结 数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，这对引导学生主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力等，都具有很好的作用.

（作者单位：山东枣庄市二中）（责任编校？筑周峰）