细化分数计算教学,渗透数形结合思想

数形结合是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化解决数学问题的思想方法。在分数计算教学中，我们借助图形的直观理解抽象的算理，尝试运用画图的策略找准单位“1”，并且在个体产生认知冲突时借助图形不断地更正解决问题的策略，有效提高学生的数学思维能力和素养。

一、细化学生旧知，多样呈现

计算教学是一个连贯性很强的知识系统，新旧知识之间存在非常密切的联系。以六上“分数乘整数”的教学为例，它是在学生已经学习了分数的加减法基础上教学的。学生通过之前的学习，对于分数直观感知和认识上已有了一定的基础，因此本节课的重点可以帮助学生学会把计算与图形有机结合，在画图的过程中明白算理，体会“数形结合”也是一种解决问题的思考策略。具体如下：

师：（出示例题）你会列式吗？

生：我是用分数的加法来做的：3/10+3/10+3/10=9/10米。

师：还有不一样的方法吗？

生2：用3/10×3=9/10米。

师：你能说说为什么能列式3/10×3吗？

生：求3个3/10是多少就可以用乘法计算。

师：说得真好！3/10+3/10+3/10表示3个3/10相加，我们就可以列式为3/10×3。那3/10×3为什么等于9/10米？

生1：可以看图，图上3个3/10米涂了9格，就是3/10米。

生2：3/10×3，3和3相乘得9，分母不变，所以是9/10米。

师：分母怎么不变呢？

生：因为3/10+3/10+3/10的分母不变，分子相加就行了。

师：现在你会计算分数乘整数了吗？

……

可以看出，学生首先想到的是用加法进行计算，因为这是他们以前学过的旧知，而且通过计算分数加法可以很快得出计算结果，所以加法计算必须在课堂上予以呈现。随后以“3/10×3等于多少呢？”引入算理的教学，有了前面算法的初步理解，学生自然而然地还是想到用图形进行解释，尝试用图形架起算法直观和算理抽象之间的桥梁，于是“3个3/10米涂了9格，就是9/10米”“3/10+3/10+3/10的分母不变，分子相加就行了”这样的回答便油然而生了。

二、细化数量关系，找准单位“1”

正确找准单位“1”，是解答分数问题的关键，每一道分数问题中总是有关键句（含有分率的句子）。我们可以利用画图找单位“1”的方法帮助学生理解，使数量关系转化为图形关系，化抽象为直观。以六上“分数连乘”为例：

师：（出示例题）怎样算出三班做了多少朵呢？

生：用一班做的135朵乘8/9，再乘3/4就得到三班的朵数。

师：关系理清了，现在请你先画线段图表示三个班的花朵数，然后再列示。

师：你们能看出她画的这两条竖的虚线表示什么意思嘛？

生：第一条虚线是二班朵数是一班的8/9，把一班的朵数看做单位“1”，第二条是三班朵数是二班的3/4，把二班朵数看做单位“1”。

师：用一条虚线就很清楚地说明了两个班稠花朵数之间的关系，帮助我们找准单位“1”的量，真不错。能说说算式的意思吗？

生：135×8/9算的是二班的朵数，再乘3/4就是三班的朵数。

师：哦！我们可以运用连续乘的方法求出三班的稠花朵数，这就是今天学习的内容。

对于学生来说，列式解决分数连乘的实际问题并不难，重点在于弄明白“乘法算式表示的意义”，教学时利用画图的方法帮助学生找到单位“1”的量，理解“二班朵数是一班的8/9，就是算135的8/9是多少”“三班朵数是二班的3/4，就是算120的3/4是多少”。数量与图形充分结合，有效突破了理解乘法意义的难点。

三、细化算理，解决认知冲突

数形结合思想方法的渗透是潜移默化的，需要教师贯通学习材料与数学思想的联系，让学生经历思考交流、比较、体验和感悟的过程，在对学习材料的深入分析中，逐步提炼数形结合思想方法。以六上“分数除以整数”为例：

师：你能说说为什么4/5÷2=2/5升吗？

生：在图中把4份平均分成两份，每份是2，画右斜杠的部分表示2/5升。

师：再看看这位同学的列式？

生：他把4和2约分了。

师：同意吗？

生1：分数乘法，这是分数除法不能约分。

生2：分数除法也可以约分，把4/5升平均分成两份，求每份是多少？就是求4/5升的1/2是多少，我用4/5×1/2约分后就得出2/5升。

师：我们可以把除法转化成分数乘法，约分后再计算。如果把果汁分给3为小朋友喝，你还能画图表示吗？你选择黑板上的哪一种算法解决？

生1：4平均分成3份不好分，我选择的是第二种方法，4/5÷3=4/5×1/3=4/15升。

生2：画图可以表示出来，但把4份平均分成3份不太好分，4/5÷3=？，我选择的也是第二种算法。

上述教学中，老师首先鼓励学生结合画图采用不同的方法计算，在学生出现了两种算法，老师并没有立即进行算法优化，而是让学生自主进行优化，因为4/5÷3无法像4/5÷2那样进行计算，在学生产生认知冲突之后产生“优化算法”的需要，从而体会“乘一个数的倒数”方法的简便性。