两个二次代数曲面的3次GC1阶拼接研究及应用

【摘要】利用代数方法，探索了两个二次代数曲面的3次GC1阶拼接条件，得出一个充要条件的结论，并利用结论给出了实例，结合MATLAB软件工具给出了球面和圆柱体沿截平面光滑拼接图形.

【关键词】代数曲面；光滑拼接；MATLAB

1.引 言

设g1(x,y,z)=0,g2(x,y,z)=0分别为两个二次曲面，1989年，J.Warren［1］给出了一个新的几何连续性定义：

定义1.1 设s(g1),s(g2)分别为过不可约空间曲线C的两个代数曲面，关于C上的GCk连续，若存在

（1）s(g1),s(g2)于C上除有限个点外光滑；

（2）A,B∈C［x,y,z］于C上不恒等于0,使得Ag1,Bg2于C上的k阶偏微分商相等.

随着后来学者的研究，Groebner基方法和吴方法的提出，国内外学者对于代数曲面之间的拼接进入一个新的阶段，有了如下的一些定理的出现.

定理1［1］ 设二次曲面S(gi)与截平面S(hi)交于不可约二次曲线，i=1,2,…,n，若存在多项式f，对于S(f)分别实现S(hi)处与S(gi)处实现GCk拼接，则有

f∈∩∩…∩.(1.1)

并且f有表达式：

f=uigi+aihk+1i,i=1,2,…,n.(1.2)

其中deg(ui)≤deg(f)-deg(gi).

deg(ai)≤deg(f)-(k+1).(1.3)

若存在这样的f，则S(f)分别与S(gi)在S(hi)上GCk光滑拼接的条件就是当ui在S(gi,hi)上不恒为零.

J.Warren给出的结论给我们提供了很好的解决方法，理论上可以求出阶数很高的光滑拼接，但是由于涉及大量的计算问题，不容易处理，在实际应用中，对其要求也很低，希望过渡曲面是一个低次的曲面，吉林大学和西南交通大学的学者［3］对在控制曲面存在的情况下的低次拼接作出了理论研究，1994年，我国数学家吴文俊先生研究了两个轴互相垂直的管道，在3次GC1光滑拼接曲面存在的条件.广大学者之后展开了对特殊情况下的代数曲面低次拼接条件的探求.

本文主要是对两个二次代数曲面的3次GC1阶拼接条件的探讨和应用.

2.三次拼接曲面存在的充要条件计算

现在我们研究建立在两个二次代数曲面上的3次GC1光滑拼接条件，设两个代数曲面方程为：

gi(x,y,z)=ai1x2+ai2y2+ai3z2+ai4xy+ai5yz+ai6xz+ai7x+ai8y+ai9z+ai0=0(i=1,2).

从定理1知道，得到的过渡曲面f满足f∈∩.

f=m1g1+n1h21=m2g2+n2h22.（2.1）

截平面方程为：

hi(x,y,z)=ci1x+ci2y+ci3z+ci=0(i=1,2).（2.2）

由式（1.3）知：

deg(mi)≤deg(f)-deg(gi)=3-2=1,deg(ni)≤deg(f)-(1+1)=3-2=1.

设mi，ni分别为下式：

mi(x,y,z)=mi1x+mi2y+mi3z+mi4=0(i=1,2),

ni(x,y,z)=ni1x+ni2y+ni3z+ni4=0(i=1,2).（2.3）

将（2.2）（2.3）代入migi+nih2i中得：

migi+nih2i=(mi1ai1+ni1c2i1)x3+(mi2ai2+ni2c2i2)y3+(mi3ai3+ni3c2i3)z3+(mi1ai4+mi2ai1+2ni1ci1ci2+ni2c2i1)x2y+(mi1ai6+mi3ai1+2ni1ci1ci3+ni3c2i1)x2z+(mi1ai2+mi2ai4+2ni2ci1ci2+ni1c2i2)y2x+(mi2ai5+mi3ai2+2ni2ci2ci3+ni3c2i2)y2z+(mi1ai3+mi3ai6+2ni3ci1ci3+ni1c2i3)z2x+(mi2ai3+mi3ai5+2ni3ci2ci1+ni2c2i3)z2y+(mi1ai7+mi2ai1+2ni1ci1ci+ni4c2i1)x2+(mi2ai8+mi4ai2+2ni2ci3ci+ni4c212)y2+(mi3ai9+mi2ai1+2ni3ci3ci+ni3c2i3)z2+(mi1ai8+mi2ai7+mi4ai4+2ni1ci3ci+2ni4ci1ci2+2ni2ci1ci)xy+(mi2ai9+mi3ai8+mi4ai5+2ni2ci3ci+2ni3ci3ci+2ni4ci2ci3)yz+(mi1ai9+mi3ai7+mi4ai6+2ni1ci3ci+2ni3ci1ci+2ni4ci1ci3)xz+(mi1ai5+mi2ai6+mi3ai4+2ni1ci2ci3+2ni2ci1ci3+2ni3ci1ci2)xyz+(mi1ai0+mi4ai7+ni1c2i+2ni4ci1ci)x+(mi2ai0+mi4ai8+ni2c2i+2ni4ci3ci)y+(mi3ai0+mi4ai9+ni3c2i+2ni4ci3ci)z+mi4ai0+ni4c2i.

由（1.2）知：m1g1+n1h21=m2g2+n2h22.要使其成立，即使上式的x,y,z为未知数的等式系数相等，故可以得到一个关于

mi1,mi2,mi3,mi4,ni1,ni2,ni3,ni4(i=1,2)的系数方程式，如下：

(m11a11+n11c211)-(m21a21+n21c221)=0，

(m12a12+n12c212)-(m22a22+n22c222)=0，

(m13a13+n13c213)-(m23a23+n23c223)=0,

(m14a10+n14c21)-(m24a20+n24c22)=0,

(m11a14+m12a11+2n11c11c12+n12c211)-(m21a24+m22a21+2n21c21c22+n22c221)=0.

(m11a16+m13a11+2n12c11c13+n13c211)-(m21a26+m23a21+2n21c21c23+n23c221)=0.

(m11a12+m12a14+2n12c11c12+n11c212)-(m21a22+m22a24+2n22c21c22+n21c222)=0.

(m12a15+m13a12+2n12c12c13+n13c212)-(m22a25+m23a22+2n22c22c23+n23c222)=0.

(m11a13+m13a16+2n13c11c13+n11c213)-(m21a23+m23a26+2n23c21c23+n21c223)=0.

(m12a13+m13a15+2n13c12c11+n12c213)-(m22a23+m23a25+2n23c22c21+n22c223)=0.

(m11a17+m12a11+2n11c11c1+n14c211)-(m21a17+m22a21+2n21c21c2+n24c221)=0.

(m12a18+m14a12+2n12c13c1+n14c212)-(m22a28+m24a22+2n22c23c2+n24c222)=0.

(m12a18+m14a12+2n12c13c1+n14c212)-(m22a28+m24a22+2n22c23c2+n24c222)=0.

(m13a19+m12a11+2n13c13c1+n13c213)-(m23a29+m22a21+2n23c23c2+n23c223)=0.

(m11a18+m12a17+m14a14+2n11c13c1+2n14c11c12+2n12c11c1)-(m21a28+m22a27+m24a24+2n21c23c2+2n24c21c22+2n22c21c2)=0,

(m12a19+m13a18+m14a15+2n12c13c1+2n13c13c1+2n14c12c13)-(m22a29+m23a28+m24a25+2n22c23c2+2n23c23c2+2n24c22c23)=0,

(m11a19+m13a17+m14a16+2n11c13c1+2n13c11c1+2n14c11c13)-(m21a29+m23a27+m24a26+2n21c23c2+2n23c21c2+2n24c21c23)=0,

(m11a15+m12a16+m13a14+2n11c12c13+2n12c11c13+2n13c11c12)-(m21a25+m22a26+m23a24+2n21c22c23+2n22c21c23+2n23c21c22)=0,

（m11a10+m14a17+n11c21+2n14c11c1)-(m21a20+m24a27+n21c22+2n24c21c2)=0,

（m12a10+m14a18+n12c21+2n14c13c1)-(m22a20+m24a28+n22c22+2n24c23c2)=0,

（m13a10+m14a19+n13c21+2n14c13c1)-(m23a20+m24a29+n23c22+2n24c23c2)=0.

以上得到一个关于mi1,mi2,mi3,mi4,ni1,ni2,ni3,ni4(i=1,2)这16个未知数，20个独立方程组成的齐次线性方程组.其系数是关于gi,hi(i=1,2)中系数常量.设上式的系数矩阵为M，若要上式存在非零解，则M的秩小于16.

结论 两个二次代数曲面沿平面截口的3次GC1拼接时，3次拼接曲面存在的充要条件是上述齐次线性方程组的系数组成的矩阵M的秩小于16.

3.三次拼接曲面存在的应用

我们给出一个球面方程和一个圆柱方程：

g1(x,y,z)=x2+y2+z2-4,g2(x,y)=x2+y2-1.（3.1）

其对应的截平面分别是：

h1=z-1,h2=z-2.（3.2）

经过将对应系数代入上述齐次线性方程组和（2.1），得到一个满足三次拼接条件的一个低次曲面f(x,y,z)=-2z3+x2+y2+8z2-8z-1=0.

通过MATLAB软件的计算实现了3次光滑拼接，如图所示：

拼接效果图

4.小 结

本文探讨了实现3次GC1阶拼接的充要条件，并进行了实例演示，从图上可以看到，拼接曲面将圆柱体和球面实现了光滑拼接，从而说明了3次GC1阶低次拼接的可取性和合理性.

【参考文献】

［1］J.Warren.Blending Algebraic Surfaces［J］.ACM Tran.On Graph,1989.

［2］雷娜.两个二次曲面的光滑拼接与吴文俊公式［D］.长春：吉林大学，2002.

［3］薛长虹.三个二次代数曲面的低次拼接［J］.大理学院学报,2008,7(2):59-63.

［4］王世儒.计算方法［M］.西安电子科技大学出版社，2006.