例析方程与函数的转化

摘要： 我们这里所说的方程与函数的转化，是指把比较难的数学函数用方程的方法进行解答。反之即是把难度大的方程问题用函数的观点（知识）去解决。这种思想方法是解决数学问题的重要思想方法之一，也是高职学生应该掌握的数学方法之一。本文通过以下例题分析这种思想方法在解题中的应用。

关键词： 方程 函数 转化

方程是初等代数的主要内容，在这个阶段主要是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程、解方程这样解题思路和步骤，达到求值的目的，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

函数在初等代数中也占有很大的篇幅，它主要包括函数的概念、图像和性质，重点学习几类典型的函数。函数是数学问题在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从数学问题的各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、研究问题和解决问题。在研究方程、不等式、复数、数列、解析几何等其他内容时，函数思想也起着十分重要的作用。

方程与函数的相互转化，既是方程思想与函数思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。方程与函数是密切相关的，如方程f(x)=0的解是函数y=f(x)图象与x轴交点的横坐标；函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0或看作方程y-f(x)=0。函数与不等式也可以相互转化，对函数y=f(x)，当y＞0时，就是不等式f(x)＞0，而求f(x)＞g(x)的解则可比较y=f(x)与y=g(x)函数图象位置而得到。

一、函数转化为方程

例1.已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)= ，sin(A-B)= 。

①求证：tanA=2tanB;

②设AB=3，求：AB边上的高。

分析：本题是一个三角函数的证明与计算问题。分析题目后发现，已知条件比较复杂，因此首要的任务是变换已知条件，使之出现含有sinA，cosA，sinB，cosB的解析式。

解：由已知两个等式，得

sinAcosB+cosAsinB= ， sinAcosB-cosAsinB= 。

研究这两个等式发现，左侧的两个解析式只相差一个符号。实际上，可把sinAcosB看成一个未知数，把cosAsinB看成另一个未知数，于是上面两式是关于这两个未知数的一个方程组，解这个方程组便可求出：sinAcosB= ，cosAsinB= 。

到此便可以完成第①问的证明，将上两式左右两边分别相除，便可得到tanA•cotB=2，即tanA=2tanB。

在第②问中，可画出图形帮助我们进行研究，如图1所示，从图中并借助已知条件不难发现，应该先求出tanA和tanB的值。

由sin(A+B)= 及 ＜A+B＜π，可求得tan(A+B)=- ，

展开后得: =- 。

为求出tanA和tanB的值，还应再有一个关于tanA、tanB的方程，这个方程正是第①问所证的结论：

tanA=2tanB。

解：由这两个方程组成的方程组，求得：

tanA=2+ ，tanA= 。

下面再解直角三角形，求CD就容易了。

AB=AD+DB= + = 。

由AB=3可解得CD=2+ 。

例2. 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，a +b +c =1，则a的范围为?摇?摇?摇?摇。

解：由b+c=1-a平方得b +c +2bc=(1-a)

又b +c =1-a ，则bc=a -a，

由此得到启示b+c与bc都可用a表示，

故b、c是关于x的一元二次方程x -(1-a)x+a -a=0的两根。

故:Δ=（1-a) -4(a -a)≥0，3a -2a-1≤0

解得- ≤a≤1。

点评：如果题目中有两数和与这两数积时，是组成一元二次方程的必要条件，在转化为一元二次方程后，再用方程特点进行解答，这样可使疑难问题轻松解决。

二、方程转化为函数

例3．已知f(t)=log t，t∈［ ，8］，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x +mx+4＞2m+4x恒成立，求x的取值范围。

解析： t∈［ ，8］，f(t)∈［ ，3］。

原题转化为：m(x-2)+(x-2) ＞0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）

当x＝2时，不等式不成立。

x≠2

令g(m)＝m(x-2)+(x-2) ，m∈［ ，3］，

问题转化为g(m)在m∈［ ，3］上恒大于0，则g( )＞0g(3)＞0；

解得：x＞2或x＜－1。

点评：首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。

三、方程和函数统一的思想

例4.已知 =1，（a、b、c∈R），则有（）。

A. b ＞4ac； B. b ≥4ac；C. b ＜4ac；D. b ≤4ac。

解法一：依题设有 a•5－b• ＋c＝0

是实系数一元二次方程ax +bx+c=0的一个实根；

＝b -4ac≥0 b ≥4ac 故选(B)。

解法二：去分母，移项，两边平方得：

5b =25a +10ac+c ≥10ac＋2•5a•c＝20ac

b ≥4ac故选(B)。

点评：解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b 是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。

从以上的例题分析我们可以看到，方程与函数是数学中相互转化的，只要实际的问题能够列出方程或找出函数关系，我们总是可以解得其结果的。

参考文献：

［1］虞涛.函数思想的应用［J］. 数学通讯，2001.1.

［2］陈柏良.例谈函数单调性的应用［J］ 中学数学杂志，2004.1.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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