探索与分析高等数学中常见的一题多解

摘要： 通过探讨高等数学中常见的一题多解，分析了各种求解方法之间的差别与联系，把不同的知识内容结合在一起，以期加深学生对高等数学课程的理解，激发学生学习高等数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学素养。

Abstract： The paper analyses the differences and relations between the various methods， by discussing some solutions in higher mathematics problem. In order to deepen students understanding of higher mathematics course， arouse students' interest in learning higher mathematics， improve students' ability of analyzing and solving problems， and cultivate students' mathematical literacy， this article combines the knowledge of the different content.

关键词： 积分方程；微分方程；求解方法；不定积分；万能变换

Key words： integral equation；differential equations；solution；indefinite integral；universal transformation

中图分类号：O175.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）22-0307-02

0 引言

在高等数学的教学过程中，经常会遇到一题多解的现象，如果在习题课上，对这类例题进行分析、总结，可以使学生对所学过的知识、方法进行复习，加以巩固，增强学生解题的灵活性，也能提高学生的发散思维能力。本文基于高等数学中比较重要的知识点展开讨论。

1 积分方程的一题多解

积分方程起源于物理问题，是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对应。积分方程作为近代数学的一个重要分支，是研究数学和各种物理问题的一个重要的数学工具。许多数学物理问题需通过积分方程求解。对于积分方程，常用的求解方法就是求导，通过求一阶导数或多阶导数将其转化为微分方程，然后按照相应的微分方程来寻求对应的解答方法。值得注意的是这类方程的定解条件往往隐含在给定的积分方程中，因此需要我们把它挖掘出来，从而使积分方程转化为一个初始问题。通过下面的例题进行详细的分析与讨论。

例：已知函数y=f（x）可导，且满足xf（x）=-2x3+2■f（t）dt，求f（x）。

解法一：设F（x）是f（x）的一个原函数，即F′（x）=f（x），则上述方程可化为：

xF′（x）=-2x3+2F（x）|■■即xF′（x）=-2x3+2F（x）-2F（1）且有F′（1）=-2即f（1）=-2

对方程两边求导，F′（x）+xF″（x）=-6x2+2F′（x），因此有f（x）+xf′（x）=-6x2+2f（x），即y′-■y=-6x为一阶线性齐次微分方程。

可令p（x）=-■，Q（x）=-6x.利用公式f（x）=y=e■[？蘩Q（x）e■dx+C]

即得：f（x）=y=e■[？蘩-6xe■dx+C]=-6x2+Cx，

又f（1）=-2，可以求得C=4，所以f（x）=-6x2+4x

解法二：根据题目易知f（1）=-2，对方程两边同时求导，由变上限函数的求导法则可得：

f（x）+xf′（x）=-6x2+2f（x）且f′（1）=-8，再次对方程两边求导，

2f′（x）+xf″（x）=-12x+2f′（x）且f″（x）=-12。

两边积分可得f′（x）=-12x+C1，再次积分f（x）=-6x2+C1x+C2。

由f（1）=-2f′（1）=-8得C1=4C2=0，因此函数f（x）=-6x2+4x

解法三：根据题目易知f（1）=-2，现对方程两边同时求导，由变上限函数的求导法则可得

f（x）+xf′（x）=-6x2+2f（x）且f′（1）=-8，即xy′=-6x2+y，也就是y′=-6x+■。

设u=■，则y=xu，y′=u+xu′带入上述方程即得：

u+xu′=-6x+u，也就是u′=-6，

那么可以求得u=-6x+C1，即y=-6x2+C1x，而f（1）=-2。因此f（x）=-6x2+4x

在解法一中，我们是把积分方程化成了一阶线性非齐次微分方程。解法二中，直接把积分方程化成了二阶常系数线性微分方程，通过逐步积分来求解。解法三，则是把积分方程化成了一阶微分方程，按照齐次方程的求解方法解答。同一个积分方程按照不同的求解方法来求解，既复习了求解微分方程常用的求解方法，又为培养学生发散思维的能力奠定了一定的基础。

2 不定积分的一题多解

三角函数的不定积分是一类比较复杂的不定积分，灵活性比较大，因此是不定积分中较难掌握的一类积分。由于有理函数的积分总有一定的方法可循，所以求三角函数有理式的积分时，常常先设法将其化为有理函数的积分。常用的方法就是万能代换。但是，万能代换也并不是万能的，对于积分问题不作具体的分析，盲目的使用万能代换，最后得到的有理函数往往会比较繁琐。因此在计算三角函数有理式的不定积分时，应先观察被积函数的特点，再选择合适的方法进行求解。

例：求解？蘩■dx

解法一：万能代换法。令u=tan■，则sinx=■，dx=■du，那么，？蘩■dx=？蘩■du=■？蘩（■+■+3+u2）du

=■（-■-■+3u+■）+C=-■-■+■tan■+■tan3■+C=-■cot3■-■cot■+■tan■+■tan3■+C

解法一：改进的万能代换法。令u=tanx，则sinx=■，dx=■du，那么，？蘩■dx=？蘩■du=？蘩（■

+■）du=-■-■+C=-■-■+C=-■cot3x-cotx

+C。

解法三：变形凑微分

？蘩■dx=，？蘩csc4xdx=，？蘩csc2x（1+cot2x）dx=，？蘩csc2xdx+？蘩csc2xcot2xdx=？蘩csc2xdx-？蘩cot2xdcotx=-cotx-■cot3x+C。

在解法一中，直接利用万能代换求解不定积分，将三角有理函数的积分化成了有理函数积分。解法二，对万能代换做了改进，当被积三角函数的幂次比较高的时候，再利用半角代换，得到的有理函数会比较复杂。改用公式u=tanx做代换，得到的有理函数相对比较简单。如果被积三角函数含有sin2x，cos2x，tan2x也可利用u=tanx做代换。解法三最为简单，利用凑微分法。因此在计算三角函数有理积分时，先分析函数的特点，再选用相应的方法，才可事半功倍。另外，采用不同的方法所得到的结果也不尽相同，尤其是三角有理函数，这充分展现了数学的魅力，也能使学生的思维得到充分的发展，提高学生的空间想象能力。

采用一题多解的授课模式，可引导学生从不同的角度来观察和思考问题，以寻求不同的解题途径，同时引导学生对多种求解方法进行比较，优化解题方法，挖掘其内在联系，从而培养学生的发散思维能力。

参考文献：

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