小波分析在证券市场中的应用

[摘 要] 指出有效市场理论的缺陷，利用具有良好时空变换特征的小波分析研究股票市场，阐述上证指数和深成指数序列所具有的分形性质，并进行实证研究。

[关键词] 有效市场 小波分析 分形

一、引言

股票市场是一个自由度极大的信息系统。传统的有关证券市场运行规律的理论都是基于有效市场假说（efficient Market Hypothesis，以下简称为EMH)做出的研究，得出概率分布近似服从正态分布或对数正态分布的结论。随着研究的深入，人们发现了正态收益率假设与实际之间的偏差越来越多的异常现象，如:EMH无法解释的证券市场中的规模效应、季节效应、小公司元月效应等。

有效市场理论的核心是价格对于信息反应的程度和速度。在EMH 所作的诸多假设中, 都采用了一种线性的范式来刻画市场, 这正是所有关于EMH 争论的症结所在, 而社会经济系统, 包括金融市场, 从本质上讲是非线性的, 我们需用一种新的经济机理来解释市场复杂的波动特性。Edgar E. Peters从非线性的观点出发，提出了更符合实际的资本市场基本假设一分形市场假说[2](Fractal Market Hypothesis，以下简称为FMH)，从而为人们准确刻画证券市场结构特征开辟了新的视角，为解释EMH等传统资本市场理论所不能解释的异常现象提供了新的理论框架。

二、分形市场理论

分形市场理论认为，只用随机的观点和方法来研究金融时间序列，必然会损失金融市场中包含的丰富信息。金融时间序列具有其内在的相关性，并且这种相关性是长期的，也就是说金融时间序列不是随机的而是分形的，叫做分维时间序列，它不服从随机游走模型和正态分布规律，而是服从分形分布，在均值处有高峰和厚尾等非线性现象。Mandelbrot认为，从随机分布到分形分布是由整数维时间序列向分数维时间序列扩展，布朗运动向分数布朗运动扩展。分形的外在表现形式是自相似，分形的内在生成机理是迭代函数系统（Interated Function System，IFS)。

定义1FBM(分数布朗运动)令H满足0

其中，(・)为函数，B(s)为布朗运动，H为hurst指数。

分数布朗运动是布朗运动的推广。分数布朗运动的特征是具有持久性或者说“长程相关性”。Hurst指数值决定了时间序列的性质，即若H＝1/2，则BH(t)=B(s)，分数布朗运动退化为布朗运动。在离散情况下，FBM成为分数差分噪声。

整数维时间序列的局限性使其未能揭示市场真实的波动特性，分维时间序列包含并且扩展了整数维时间序列, 因此, 它具有整数维时间序列所不具有的诸多非线性特性, 如长记忆性、自相似性、IFS 生成机理等等, 从而可以更加准确地刻画金融市场的波动特性。

如果信号具有自相似性，则在分解后会发现小波系数的图形在许多尺度上看上去很相似。因此，如果某个信号的连续小波变换系数在很多尺度上相似，那么该信号就具有自相似性，从而可用自相似或分形的知识研究。若对某一股票价格的数据每天采样一次，然后做出价格关于时间变化的曲线，与每星期采样一次做出的曲线，在统计学意义上是相似的，因此可求其分数维。

在实际应用中计算分形维数的方法有很多，如相似维、容量维、盒子维(Minkowski维)、信息维、关联维、广义分形维等。而小波分析被誉为数学的显微镜，十分适合分析具有自相似性股价指数曲线。

股价指数序列｛X(t)∶t=1,2,…｝具有统计自相似性，即自相似的随机过程是在概率分布意义下满足自相似性，即对任意a＜0，X(t)∶=a-HX(at)，H为自相似指数，D=2-H，（D为分形维）, 为依概率分布相等。对X(t)有

1.均值自相似性：E(X(t))=a-HE(X(St));（1）

2.自相关函数自相似性：

Rx(t1,t2)=E(X(t1)X(t2))=a-2HE(X(at1)X(at2))=a-2HRx(at1,at2)，若是平稳的，则Rx(t1-t2)=a-2HRx(at1-at2)；（2）

3.功率谱自相似性:且。（为X(t)的方差） （3）

若自相似过程的功率谱具有特点:,=2H+1,称为分维谱特性或1/f谱。一般来说，1

对分形噪声进行小波分解，其小波系数在尺度j时的方差有如下特征：

Rf2=var(dnj)=R2Vφ（)2i（4）

var(dnj)为小波系数在尺度j的方差，R2为噪声方差，Vφ（)是依赖于φ（t),的常数，对上式两边同时取对数得1og2(R2f)=1og2[R2Vφ（y)]+j (5）

令Yj=1og2R2f，β＝1og2[R2Vφ（)]

参数可由以下线性回归估计:Yj=β+、i,j=1,2,…,m

应用最小二乘法估计得

小波系数在尺度j的方差有无偏估计：

则（6）

三、应用及结论

十多年来，我国股票市场已经取得了长足的发展，但由于经济环境的复杂性，以及我国经济体制在许多方面不断发生变化，许多难以度量的结构性因素和其它难以预料的因素都对股市产生影响，直接表现为股指似乎无规律的波动。下面应用小波理论对上证股指、深证股指数据进行分析。

选取上证180指数与深圳100指数20004年1月3日至2006年12月26日的原始数据作为研究对象。利用Matlab中的小波工具箱，采用Daubechies D6小波基对原始数据直接进行6层正交小波变换可以得到一系列的小波系数，由(6)我们可以得到下列结果：上证指数的分形维是1.141，深证指数的分形维是1.109。

另外，还可以根据赫斯特提出的另一统计量进行稳定性检验或周期长度的估计。对于独立的随机过程系统，统计量Vn关于1og(n)是平坦的。而对于具有状态持续性的过程来说， Vn关于1og(n)是向上倾斜的。当Vn图形形状发生改变时，就发生突变，短期记忆消失。我们发现我国股票价格持久性周期大约是20周，即股票现在的价格会对以后20周左右时间内的价格产生影响，而20周以后的股票价格与现在的价格是相互独立的。

参考文献：

[1]王 哲 王春峰 顾培亮:小波分析在股市数据分析中的应用.系统工程学报,1999:14（3）

[2]徐绪松 陈彦斌:深沪股市分形维实证研究.数量经济技术经济研究,2000：11

[3]孙仲明:上证指数的分形结构分析.经济理论研究

[4]侯建荣 宋国乡:小波分析在Hurst指数估值中的应用.西安电子科技大学学报,222:29（1）

[5]樊 智 张世英:金融市场的效率与分形市场理论.系统工程理论与实践,2002:3