穷举归纳和比较在初中数学中的运用

【前言】穷举归纳和比较在初中数学中的运用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。在采用穷举归纳法证明几何题中，有时还会发现一些被认为是正确的命题的错误，从而否定这些似真而假的几何命题。 比较法就是找出一事物区别其他事物的特点，通过对比可以找出差异，有助于进一步加深对新知识的理解，揭示新知识的本质。 在数学教学中恰当地运用比较法，...

穷举归纳法是指证明一个命题时，根据提示考虑到一切可能的情形，然后分别各种情形逐一进行推理论证，若都能导出命题结论的正确性，则可归纳得出命题的正确性。这种证法，只适应于特殊情形不多的命题。

例：已知：O1和O2相交于点A，B，经过点A的直线分别交两圆于点C和D，经过点B的直线分别交两圆于点E和F，且CD∥EF。求证：（1）CD=EF；（2）CE=DF。

证明：本题的图形有两种情况（如图）。

（1）CE，DF分居公共弦AB两侧（图甲），连结AB，则∠ABF=∠C，四边形ABFD内接于O2，∠ABF+∠D=180°，CE∥DF，又CD∥EF，四边形CEFD是平行四边形。故CD=EF，CE=DF。

（2）CE，DF在公共弦AB的同侧（图乙），连结AB，则∠CDF=∠B， 四边形CEBA内接于O1，∠C+∠B=180°，CE∥EF，四边形CEFD是平行四边形。故CD=EF，CE=DF。

在采用穷举归纳法证明几何题中，有时还会发现一些被认为是正确的命题的错误，从而否定这些似真而假的几何命题。

比较法就是找出一事物区别其他事物的特点，通过对比可以找出差异，有助于进一步加深对新知识的理解，揭示新知识的本质。

在数学教学中恰当地运用比较法，不但能突出教学的重点，简化某些教学环节，而且有助于学生理解和掌握概念，提高解题能力和发展思维能力，可以使学生对解题思路更清晰更准确，既可巩固基础知识又提高能力。

例：一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，再用水加满，这时，容器内剩下的纯药液是28升，每次倒出液体多少升？

这类题目，不仅在工农业生产中经常碰到，而且在学习高中的等比数列、指数方程等内容时，也要碰到。它是分数、百分数问题的实际应用，解题时，要用到“已知个数的百分之几，求这个数”的方法，而且又涉及到化学中“溶液”、“溶质”、“浓度”的概念及其三者之间的关系。

在解决这类问题前，应该要求学生理解“溶液”（溶剂和溶质的和）、“溶质”、“浓度“三者的概念和它们之间的关系（浓度=溶质/溶液）及其变化时的关系：1. 若溶液增加溶剂（如水），则溶液和浓度变化，而所含溶质的量不变。2. 若将溶液倒出，则溶液中所含溶质的量发生变化，但是浓度不变。

解法一：利用每次倒出纯药液的多少列式。设每次倒出液体x升，则第一次倒出x升都是纯药液，用水加满后，这时容器中剩下的纯药液为（63-x）升，占整个溶液63升的（63-x）/63（即浓度）；第二次倒出x升的药液中有纯药液（63-x）x/63升，由此可得方程：63-x-（63-x）x/63=28。

这种列式方法，学生最容易接受和理解，但是式子太繁琐，而且与以后学习的等比数列，指数方程应用题列式形式与解题的途径不一致，所以不是最佳方法。

解法二：用浓度与溶质的变化列式。设每次倒出x升液体，第一次倒出x升纯药液后，用水加满，此时，容器内的浓度为（63-x）/63，第二次倒出x升溶液后，在剩下的（63-x）升溶液中，有纯药液（63-x）・（63-x）/63升，由此可得方程（63-x）2/63=28。

这种列式方法，虽然比较简单，但与以后的学习无多大联系，所以也不是最好方法。

解法三：设每次倒出x升液体，则第一次倒出x升纯药液后，容器内还剩下纯药液63-x=63（1-x/63）升，用水加满后，容器内溶质（纯药液）不变，而浓度变成了63（1-x/63）/63=1-x/63，所以在第二次倒出x升溶液中有纯药液（1-x/63）・ x，这时容器内剩下的纯药液有63（1-x/63）-（1-x/63）x=（1-x/63） ・ （63-x） =63（1-x/63）2，依题意可得63（1-x/63）2=28。

这种方法列的方程比较简明易解，它既联系了例题的分析过程和列式的方法，且与以后等比数列，指数方程等应用题的解题形式和思考方法有联系，所以采取这一列式方法是最佳的。

在实践中证明，这种比较法的数学方法，学生掌握的知识扎实，理解也较好。当然，比较法只能用来帮助我们建立猜想，作为研究问题的线索。