成也审题 败也审题

在前几期内容中，我们一起探讨了历年数学高考试题在高考复习中的重要地位，并分析了高考数学题的四个基本来源.由此，我们认清了不少数学试题的真面目，明确了选择高考复习资料的方向.

在复习中不断提高解题能力、顺利应对高考是我们的最终目的，所以接下来，我们就要把重点放在解题的几个重要环节上.首先，从审题开始.

审题，就是通过阅读题目，了解已知条件是什么、未知条件是什么， 挖掘题目的隐含条件，审清题目的结构特征，从而找到解题思路，形成解题方案.在整个解题过程中，审题是一个非常重要的环节，它是解题的基础 ，也是解题的开始.

转化晦涩难懂的已知条件

审题的第一步就是读懂题意，理清问题，理解已知条件所表达的含义.这是解决问题的基础.

有些问题的条件表述比较晦涩，下面我们就以一道题为例，看看如何把难懂的转化成易懂的.

例1 [2009年高考数学江西卷（理科）第12题] 设函数f（x）=（a

（A） -2 （B） -4 （C） -8 （D） 不能确定

解析： 在审题时，我们可以把已知条件分成两部分来理解. 一是“函数f（x）的定义域为D”，根据根号的性质可知D是不等式ax2+bx+c≥0 （a

为了便于理解，我们把s和t这两个相互独立的变量分开考虑. 因为s∈D，所以α≤s≤β，即s可以在区间[α，β]上左右移动.又t∈D，所以at2+bt+c≥0.结合二次函数的性质可知g（t）=at2+bt+c （a

-，所以f（t）=∈0，f

-.

如图1所示，“点（s， f（t））构成的区域是一个正方形”意味着该正方形是由两条竖线x=α，x=β及两条横线y=0，y=f

-所围成的.据此，我们不难建立关系式：α-β=f

--0.由韦达定理可得α-β2=（α+β）2-4αβ=，又f

-=，所以=，结合a

点评： 审题时我们把点（s， f（t）） （s，t∈D）的横坐标s和纵坐标 f（t）分开，分别分析它们的取值范围.横坐标的变化范围与纵坐标的变化范围相等，就是“点（s， f（t）） （s，t∈D）构成一个正方形区域”这句话的本质意义.

对于一下子难以理解其含义的条件，我们可以试着将它转化为我们能理解的表达.在转化时，可以观察题中代数式的结构，分析变量的几何意义，判断函数的定义域和种类，甚至作出图形，使条件变得“平易近人”.

抓住关键词句

在审题时，除了了解问题的整体背景、注意各部分之间的联系和区别外，还要抓住关键词句展开思考.许多数学题的条件或者所求目标中都有关键性的词句，抓住它们就等于抓住了问题的本质，找到了解题的方向.

例2 [2009年高考数学北京卷（文科）第14题] 集合A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1?A，且k+1?A，就称k是A的一个“孤立元”.给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.

解析： 即使让理科生做这道高考题，错误率也相当高.错误的原因主要有两种：一种是不理解题设中的关键词“孤立元”的意义，不知从何下手.另一种是对关键词“孤立元”的理解有失偏颇.题目要求从S中取出3个元素，这3个元素组成的集合应该是一个不含“孤立元”的集合，不少同学没能完全理解题意，也没有完全理解“孤立元”的意义，直接从S中取出3个他们认为不是孤立元的元素进行组合排列.事实上，孤立元并非是独立存在的，它和集合密切相关，是相对集合而言的.比如元素2在S中不是孤立元，但在集合{2，4，7，8}中就是孤立元.

要正确求解例2，关键在于理解关键词“孤立元”的定义.根据定义，“k是A的一个‘孤立元’”即“k∈A，k-1?A且k+1?A”，那么“k不是集合A的‘孤立元’”就等价于“k-1与k+1之中至少有一个与k同时出现在集合A中”，这样就抓住了“孤立元”的本质，并开启了解题思路.

对含有3个元素且不含孤立元的集合A={a，b，c}，不妨设a

正确理解了“孤立元”后，我们还可以将这个问题拓展开去：若所求集合包含的元素为4个，答案是什么呢？设A={a，b，c，d}且a

点评： “孤立元”就是例2中的关键词，对这个词的理解直接影响到对问题的解决.

例3 [2012年高考数学江苏卷第12题] 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 .

解析： 例3的关键句是“直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共点”.理解了这个关键句，就很容易使问题得到转化.

圆C的方程可化为：（x-4）2+y2=1，所以圆C的圆心为（4，0），半径为1.以动直线y=kx-2上一点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共点，意味着圆C的圆心到动直线上这个点的距离不大于两个圆的半径之和2.而“至少存在一点”意味着圆C的圆心到动直线上的点的最短距离不大于2，也即圆C的圆心到动直线y=kx-2的距离小于等于2.由点到直线的距离公式可得≤2，解得0≤k≤.即k的最大值是.

点评： “直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆C有公共点” 是例3的关键语句（或称“题眼”），据此我们建立了一个关于k的不等关系式，求出其最大值.

寻找隐含条件

有些题目中的某些条件不明显，需要深入思考才能理解其背后丰富的含义；有些条件虽然存在于题目中，解题者却没能注意到，也没能好好利用，从而导致解题受阻.这些条件就是我们常说的“隐含条件”.隐含条件往往是突破难点、解决问题的关键所在，所以我们在审题时，要注意寻找这些隐含条件.

例4 [2008年高考数学浙江卷（理科）第17题] 若a≥0，b≥0，当x≥0，

y≥0，

x+y≤1时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于

.

解析： 例4有点“反客为主”的味道.我们平时遇到的线性规划问题大多是以a，b为参变量，所求的目标大多和临界点（x，y）有关.而例4则把x，y看成参变量，要求的是点P（a，b）所形成的平面区域的面积.解题的着眼点在于对条件ax+by≤1的理解.

如图2所示，作出x≥0，

y≥0，

x+y≤1所在区域（即阴影部分），ax+by≤1意味着目标函数z=ax+by在区域x≥0，

y≥0，

x+y≤1内恒小于等于1，即zmax≤1.由于a≥0，b≥0，所以直线z=ax+by的斜率不为正，由图2可知，当直线过（1，0）或（0，1）时，z取得最大值，所以a×1+b×0≤1且a×0+b×1≤1，即a≤1，b≤1.再结合a≥0，b≥0，可知以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域是一个边长为1的正方形，其面积为1.

点评： 例4中的条件ax+by≤1等价于目标函数z=ax+by在区域x≥0，

y≥0，

x+y≤1内的最大值小于等于1.这是一个含义丰富的条件，仅仅理解不等式本身是不能解决问题的.只有对它进行转化，理解它背后真正的含义，才能扫清解题的障碍.

隐含条件经常隐藏于题设的背后，要找出这些隐含条件，需要我们掌握好数学的基本概念、知识以及思想方法，全面地考虑问题.比如对于问题“ABC为锐角三角形，试判断sinA与cosB的大小关系”，解题时我们会用到隐含条件A+B>，即A>-B，从而由正弦函数在锐角范围内的单调性得到sinA>cosB.题目中并没有明确提出A+B>，这个条件是隐藏在“ABC为锐角三角形”中的，因为角C也为锐角，所以必有A+B>.

关注所求目标

审题时，除了从条件出发进行思考，还可以反过来从所求的目标出发，获取有利解题的信息.有些问题所求的目标和我们平时熟悉的定理、推论有一定联系，只要能抓住目标，思维与推理就有了目的性和针对性.

例5 [2011年高考数学重庆卷（理科）第20题第（2）问] 如图3所示，已知椭圆的方程为+=1，设动点P满足：[OP] =[OM] +2[ON] ，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-.问：是否存在两个定点F1，F2，使得PF1+PF2为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由.

解析：例5所求的目标是：“是否存在两个定点F1，F2，使得PF1+PF2为定值？”如果我们盲目地去寻找这样的定点，就会发现无从下手.但从所求目标反推回去，我们可以发现一点“蛛丝马迹”：如果存在两个定点F1，F2使得PF1+PF2为定值，那么动点P的轨迹就应该是椭圆，所以点P的轨迹方程应该满足+=1的形式.有了这个推断，我们就可以结合点P的坐标所满足的关系求出点P的轨迹方程.

设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2）.直线OM与ON的斜率之积为-，即kOM・kON==-，所以x1x2+2y1y2=0.又由[OP] =[OM] +2[ON] 得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2.

因为M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆+=1上的点，所以+=1 （①），+=1 （②）.对②式变形得4

+

=4 （③）.将x1x2+2y1y2=0代入①+③可得+=

+

+（x1x2+2y1y2）=+=+=5.因为P（x，y）的坐标满足x=x1+2x2，y=y1+2y2，所以点P的轨迹为椭圆+=1.

由PF1+PF2为定值可知F1，F2为该椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义可得c==，因此存在F1，F2，且F1（-，0），F2（，0）.

点评： 解答例5的关键是从所求的目标出发进行思考，这一思考，就给我们提供了解题的方向和思路.

因此，在审题时，如果题设条件不能直接提供解题方向，不妨从目标开始分析.我们首先寻找与目标等价的命题，如在例5中，与“是否存在两个定点F1，F2，使得PF1+PF2为定值”等价的命题应该是“如果存在满足条件的两个定点F1，F2，则点P的轨迹应该是椭圆”，从而可由点P的坐标满足的关系找到解题方法；有时候我们还可以逆推所求目标，以“要使所求目标成立，必须满足什么条件”的形式层层递推，得到明显成立的结论或题设条件，为解题提供思路.由此可见，审题有时候也是审所求目标.