审题――探究条件特征

刘贵：河北保定易县人，特级教师、中国数学奥林匹克高级教练员、新教材审定委员会成员，获得第五届苏步青数学教育奖，现任河北教育学会数学专业副理事长、石家庄外国语学校副校长。

审题问题有很多老师都谈到过，这次我们换个角度聊聊审题的事情. 审题的一个基本任务是搞清题意，弄清已知和未知的具体含义. 而解决数学问题的难度主要来自于拟定解题方案，因此如何通过审题建立已知与未知之间的联系，是审题中重要的任务.

审题的关键是研究条件特征. 而研究条件特征就是通过类比、联想等方式，把已知条件与已有知识联系起来，使其特征更加明显. 比如题设条件有x2+y2=1，我们就可以联想到sin2θ+cos2θ=1，从而令x=cosθ，y=sinθ；也可抓住x2≥0这个特征，得出1－y2≥0，从而精确y的范围；还可抓住方程的图形特征，知道这个方程的曲线是一个圆，然后应用图形特征解题等等.

1． 直接探究已知条件的特征

例1已知a，b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值.

解析解法1，关注求“最值”，由于中值与边值多是取最值的位置，故猜想本题最值在中值处取得，用如下方式建立联系.令a=－t，b=+ t

－≤t

≤，代入M化简得M= 2t2

+－1. 而0≤t2≤，由局部区域二次函数的特点知Mmin=M（0）=，Mmax=M

=1.

解法2，关注“形式”，借助重要不等式，建立a4+b4，a+b之间的联系. 一方面，由a2+b2≥2ab，得①2（a2+b2）≥（a+b）2，②2（a4+b4）≥（a2+b2）2，于是①2×②得（a4+b4）≥（a+b）4，经验证当a=b=时，不等式取等号，Mmin=；另一方面，由题意知0≤a≤1，0≤b≤1，于是a4≤a，b4≤b，则M=a4+b4≤a+b，经验证当a，b之一为0时取等号，Mmax=1.

解法3，关注a+b=1的特点，联想到cos2θ+sin2θ=1，利用三角换元法求解. 由a+b=1可令a=cos2θ，b=sin2θ，θ∈R，则代入M化简得M=cos8θ+sin8θ=2・

sin22θ－1－1，又由－1≤sin2θ≤1可得0≤sin22θ≤，故Mmin=，Mmax=1.

2. 加强和拓展已知条件

有些题目仅靠直接对条件特征进行研究，不容易解决问题，这时需要对题目条件进行必要的加强或拓展.

例2求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积.

解析观察题目可将本题条件x1+x2+x3+…+xn=x1・x2・x3…xn进行加强. 于是由集合元素的无序性、互异性及已知条件可令集合S=｛x1，x2，x3，…，x｝，其中xi∈N∗（n∈N∗，n≥2），并假设1≤x1

3. 通过反证法创造新条件

若结论中出现至多、至少或恒怎么样的问题，并且直接证明困难时，则可通过反证法（把否定的结论作为新的条件）解决问题.

例3已知f（x）满足：对任意实数a，b有f（a・b）=af（b）+bf（a），且

≤1. 求证：f（x）恒为零. （证明时可用结论：若g（x）=0，

≤M，M为一常数，那么［g（x）・f（x）］=0）

证明由题意令a=b=0，得f（0）=0；令a=b=1，得f（1）=0；令a=b=－1，得f（－1）=0…正难则反，下面用反证法证明. 设至少存在一点x0，使得f（x0）≠0，显然x0≠0，x0≠±1. 当

x0

>1时，对正整数n反复利用f（a・b）=af（b）+bf（a）得f（x0n）=nx0n-1・f（x0），即= f（x0）≠0，故当n≤1，由题目所给结论可得=0，显然矛盾，所以当