解析物理解题中的物理建模与数学建模

一、如何建立物理模型

图1 2010年理科综合答卷中第19题图

目前在进行可导电流体在管道中的实际流量（注：单位时间内所经过的管道内部截面流体实际的体积）的测量过程中，电磁流量计得到了广泛的运用。为了更加直观的解答，我们假设电磁流量计如图1中所示，是一块横截面为长方形的管道，并且管道的中空部分相应的长宽高分别用图中的a、b、c表示，而管道（主要作用为输送流体）与电磁流量计主体的两端相互连接（在图中表示为虚线部分）。在图1中，电磁流量计的两个面材质都是金属材料，而前后两个面材质为绝缘材料。根据现在的实际情况，我们知道电磁流量计处于的位置为匀强磁场，并且磁场内部的加磁感强度经测量为B，与此同时，得知磁场的方向与前后两个面呈垂直状态。当整个导电流体稳定并且快速地经过电磁流量计的时候，在管道的外部将电磁流量计的下面以及上面分别连接一个电阻值为R的电流表（此时为串联）的两端进行连接。我们用I表示为经过测量以后的电流值大小。流体实际的电阻率大小为已知（P），如果不对电流表实际的内阻大小进行计算，那么我们可以将流量进行计算得出：

分析以及求解：

上述题目当中的电路模型，我们可以将其视为一个简单的电路（串联）模型，其中包括有外部电阻值大小R，导电流体、电流表以及电磁流量计共同构成的电源，并且内阻为r，我们根据欧姆定律不难得出：ε=（r+R）I。因为已知导电流置位于电磁流量计上表面以及外表面之间，因此我们可以将内阻r确定，所以有r=Pc/ab。通过这样的模型，我们就可以通过排除法选择出正确的答案。

首先应该对上述的4个备选答案进行仔细的观察，我们可以发现A答案中，r=Pc/ab，B答案中，r=Pb/ac，C答案中，r=Pa/bc，D答案中，r=pbc/a。这时显而易见的，正确答案为A。但是，这样的解题方法缺乏深刻的物理意义，并不能对物理图景进行清晰的反映。如果该题目变成了填空题，那么上述的解题方法将完全失效。所以，究竟能否建立一套更加理想化的模型来帮助解题呢？答案是肯定的。电磁流量计的上表面以及下表面之间存在流体运动，我们可以将其看作是一条金属导体棒（导体棒的长度为c）对磁感线进行切割运动，所以存在有：ε=Bac/t=（c/ba+R）I。所以流量大小V/t=cab/t=（Pc/a+Rb）/B。

当然，方法并不是唯一的，甚至我们还能通过这样的方法完成模型的建立：在流体实际的运动方向上，寻找一个与这个方向相互垂直的横截面，此时所围绕而成的空间（电磁流量的右边和该运动界面所围）是出于不断地变化过程中。此时这个变化的空间与磁场呈垂直状态的截面上的磁通量会发生明显的变化，此时的ε=Bac/t= ，和这个式子一样的，我们可以得出流量具体的大小：V/t=cab/t=（Pc/a+Rb）/B。

通过对这一个例题的深入研究，我们不难发现，对于物理问题而言，其解决方法中，最为简单有效，但是又十分重要的方法就是物理模型法。物理模型法正确运用的关键就在于对物理行为发生的过程中每一项造成影响的因素所产生的影响进行正确的分析，并且清晰主次关系，将主要的解题矛盾以及关系矛盾突出，从而实现解决物理问题的最终目的。

二、如何建立数学模型

图2 福建省第二次模拟考试的最后一题图

如图2中所示，在一个光滑的水平面放置一块木板（已知长度为L，已知质量为M），并且在木板的右边位置放置一个看作为质点的物块（物块的质量一直为m），在木板以及木块之间，动摩擦因素设定值为μ，并且两者同时保持以v0的速度一起向左方向运动，直到与图2中左方竖直立起的墙壁产碰撞，我们假设在这个碰撞的过程中，持续的时间极短，并且在两者碰撞的过程中并没有发生任何的机械能的瞬时，并且M

解析：问题①：我们如果以物块m作为主要的研究对象，那么存在有f=gμm，那么存在aM=f/M=gμm/M。针对木板M，我们假设其进行第一次碰撞以后，和墙壁之间所保持的最远距离为s1，那么存在有：v02=s1x2aM，那么我们可以得到s1=v02/2aM=（v02・M）/（2gμm）。

那么这一段时间我们可以通过下面的式子进行表示：t=v0/ aM =（v0・M）/（gμm）。

在上述的这一段经过表示出来的时间以后，我们可以得出物块m向左方向所运动的实际距离大小为：

s2=v0t-μt2g/2=Mv02/μgm-1/2・gμ・（v0M/gmμ）2=[v02M（-M+2m）]/2m2gμ。

那么我们可以推导得到这一时刻物块m距离竖直墙壁的实际距离大小为：

d=- s2+L=-[v02M（-M+2m）]/2m2gμ+L

问题②：我们假设若木板M以及物块m处于第一次静止（相对静止）状态的时候，速度的和实际上为：v′，那么存在有v0m- v0M=（m+M）v'。

那么v′=（v0m- v0M）/（M+m）= v0q。

此时我们对物块m以及木块M两者间的相对位移进行假设为s1，那么存在：

模型建立，首先应该对s1所列举的表达式进行详细的观察，我们发现s1以及v0之间，两者的二次方相互呈正比例关系，并且又存在v′= v0q，那么我们就可以详细地知道每一次物块m相对于木板M之间的相对位移值sm（注：m=1，2，3，4，5……），并且每一个有呈现为等比数列，具有一定的规律，并且存在公比：q2=[（m-M）/（m+M）]2。那么这个时刻，本次物理题目当中需要设计的数学模型建立就已经结束。

从而我们得到等式： ，

并且求解得到：

通过对福建省第二次模拟考试的最后一题的实际解题研究，我们不难发现，对于物理现象以及物理本身规律进行分析，往往都需要借助数学工具的帮助，在进行物理问题的解答过程中，对物理工具进行合理的借用，并且建立严谨合理的数学模型，可以将一些看似复杂的物理问题不断地简单化，使得问题被简单快速的解决。

（作者单位：浙江省绍兴县豫才中学）