“牛顿―莱布尼茨公式及其证明”基于微视频的教学设计

【摘要】随着教育技术及互联网的迅猛发展，微课、幕课、翻转课堂等教学模式越来越受到学生和老师的欢迎，这些新兴的教学手段都充分利用了视频教学资源，在高等数学教学中如何利用好视频教学资料来进行教学设计，达到更好的教学效果就是一个值得研究的问题.本文以高等数学中的“牛顿-莱布尼茨公式及其证明”这一节来展示利用微视频资料进行教学设计，从而更好地把抽象的证明通过图形的动态转化体现出来，让同学们更深入地理解高等数学的知识及背后的数学思想，激发学生学习高等数学的兴趣，提高学习效率.

【关键词】教学设计；微视频；高等数学

一、绪 论

互联网的快速发展特别是移动互联网技术的发展无时无刻不影响我们的生活方式、生活习惯、思维方式等方方面面.在教育方面，对教育理念、教学方法、教学模式等的影响巨大，由教育部教育管理信息中心、百度文库和北京师范大学联合的《2015中国互联网学习白皮书》的结果显示，互联网教育产品用户主要集中在19至24岁、25至34岁两个年龄段.19至24岁阶段多是大学生，从中可以看出我们的高等教育必须适应互联网的发展和学生的行为习惯，利用互联网和科技带来的效率优势，提高学生的学习效率[1].

高等数学是大学教育中的一门基础学科，是绝大多数大学生必须掌握的一门基础课，是学生综合素质的重要组成部分.高等数学有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性.抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用.严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念的表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律.所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程[2].因此，在教学中，如何让学生在掌握知识和计算的过程中，更好地体会数学思想方法，从而提高他们的综合能力，对于高等数学的教育是一个很值得思考的问题，这需要我们在教学设计上下功夫，利用科技，特别是信息技术，把高度抽象的数学理论以比较“形象化”的技术手段进行展示，在此过程中把数学思想和方法展示给学生.同时，注意到当代大学生的学情特点，他们思维活跃，但是有时思维方式比较形象化，对抽象的事物掌握规律比较困难；特别喜欢移动互联网，甚至一天不用手机，他们已经不能忍受；他们对新鲜的事物抱有足够的好奇.

综合学情和已有的技术储备，利用微课和翻转课堂的教学理念和模式，我们可以在某种程度上利用信息技术合理设计教学视频，把高等数学教学中抽象概念包含的数序思想更好地展示出来，从而提高学生们学习高等数学的兴趣，激发他们学习的动力.

我们以高等数学中“牛顿-莱布尼茨公式及其证明”这一小节以微视频来进行教学设计，让学生体会动态的微积分的定义、变上限积分的定义、牛顿-莱布尼茨公式的证明.从中体会“以直代曲”的线性化方法、数形结合方法.进而更好地理解不定积分和定积分之间的联系.

二、基于微频的教学设计

微视频通常值指的是时长不超过20分钟的视频短片，特别适合在移动互联网上播放和传播.本小节的教学设计要利用MATLAB计算软件、几何画板软件来制作微视频.具体教学设计如下：

牛顿-莱布尼茨公式及其证明教学设计方案

使用的教材为同济的《高等数学》上册，第六版.

一、教材的地位与作用

牛顿-莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来，是微积分学中最重要的公式.

二、学生知识结构分析

在牛顿-莱布尼茨公式学习以前，学生已经学习了导数、微分、原函数、不定积分、定积分的概念和性质的相关知识.

二、教学目标

1.知识与技能：熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，体会知识间的联系.

2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层设疑，引导学生在不断思考中获取知识.

3.情感与态度：提高观察、分析、抽象、概括的能力，体会数学解决问题的方法和过程，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣.

三、教学重点

掌握牛顿-莱布尼茨公式.

四、教学难点

理解牛顿-莱布尼茨公式的证明过程，体会其背后的数学思想和方法.

五、教学过程

1.复习旧知识，以微积分的定义的动态视频展示引入课题――创设情境.

首先，利用Matlab软件设计一个程序完成对定积分定义的动态展示，即定积分中的分割-近似求和-取极限的过程动态地展示出来.以在区间[0，1]上的定积分为例，把每一次分割所对应的所有的小矩形的图形通过Matlab画出来，然后拼接成动画，做成视频[3].实现上述过程，中间过程的一个静态展示如下：

随着分割的加细，所有小矩形的图形逐渐稳定，即它们的面积和趋向稳定，这个极限值就是在区间[0，1]上的定积分.

定积分定义的动态视频展示，可以让学生更好地理解定积分的思想.同时，体会到按照定义来求解定积分是不容易的，即使是非常简单的函数.从而引出牛顿-来不尼茨公式――高效的计算定积分的方法，且使得定积分成为一种科学的方法.

2.得到猜想――验证猜想

我们要利用数学常用的解决问题的方法：猜测结论――验证结论，得到一般的规律[4].利用这种方式给出牛顿莱布尼茨公式.

通过上述视频的动态演示，当把[0，1]区间分割成500份，最终的图形如下：

如何证明该猜想是一个难点，我们采用数形结合，并利用几何画板把它用微视频的方式展示出来，同时也把变上限积分的几何意义展示出来.具体做法如下：

初始画面如下，揭示定积分的几何意义为曲边梯形的面积.从而只需证明阴影部分的面积和红色线段长度相等.

这需要一个桥梁和工具：变上限积分.因此要让阴影部分动起来.视频的中间一个过程如下图.

随着点向左端点运动阴影部分的面积不断变小，通过该过程让学生体会变上限积分函数的特点.接着要把变上限积分函数的图像在坐标系中画出来，且曲线的出现的过程与阴影部分的面积的变化过程同步.视频的一个中间的静态展示如下图.

从而使得定积分的值――曲边梯形的面积转化为变上限积分函数在区间上的增量.再通过比较图像的位置关系，我们可以得到阴影部分的面积在区间上的增量等于线段长度在区间上的增量.通过移动曲线即可得到，移动的过程的一个静态展示如下图.

3.得到定理――总结反思，提炼精华

完成定理证明后，加以练习，并对数学思想方法进行总结，让同学们体会：

（1）定积分的定义

分割-近似求和-取极限的思想，以及以直代曲思想.

（2）数学解决问题的一般途径

合理的猜测后进行严格的论证从而得到一般的规律是数学解决问题的常用方法.清晰的直觉和严谨的逻辑同样重要.

（3）数形结合的思想

定积分的几何意义和变上限积分函数的图形展示.

（4）不定积分和定积分之间的关系：牛顿-莱布尼茨公式给出了求函数定积分的一般方法，把求定积分的问题转化为求被积函数原函数的问题，这就使得作为积分和数列的极限的定积分与作为微分逆运算的不定积分紧密地联系在一起，正是这样的联系才使得微积分有非常广泛的理论和应用价值[4].

六、教学方式

采用学生事先预习，n堂上与学生共同讨论的方式来进行教学，多媒体、板书等相结合.

三、总 结

随着互联网开放教育的深入发展，年青一代学生对互联网的依赖及他们的行为方式的改变，我们需要利用各种信息技术把数学中的概念形象地展示出来.专业的数学软件和课件制作软件是我们必须灵活利用的，如Matlab、几何画板等.并制作成视频，放在网上或者发给学生，充分利用微视频的优点和学生的行为习惯，帮助学生自学、预习、复习，提高他们的学习效率，让他们感觉到学习数学是轻松的，且有成就感.从而激发他们学习数学的动力.

我们以“牛顿-莱布尼茨公式及其证明”这一教学内容为例，把通过Matlab和几何画板软件设计的动画视频作为教学设计的中间环节.通过这样的设计把比较抽象的概念，通过数形结合动态地展示出来.有助于学生理解公式背后的数学思想和方法，有助于培养学生综合数学修养.

【参考文献】

[1]杨经晓，互联网数学开放教育发展近况[J].数学文化，2013，4（1）：61-68.

[2]http：///linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta.

[3]王正林，龚纯，何倩.精通MATLAB科学计算[M].北京：电子工业出版社，2007.

[4]孙炯.《数学分析选讲》公开课.http：///viewVCourse.action？courseCode=10126V001.