基于牛顿—科特斯积分的误差分析

时间:2022-10-19 01:57:58

基于牛顿—科特斯积分的误差分析

[摘 要]本文首先简单介绍了牛顿科特斯公式的基本思想及算法步骤,然后讨论了牛顿科特斯公式的阶数及复化的子区间个数对误差的影响,得出布尔求积公式(即阶数取4),复化子区间个数取90左右较为理想。

[关键词]积分 复化牛顿-科特斯积分 误差

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437(2013)18-0152-02

一、引言

我们知道利用插值多项式来构造数值求积公式是最常用的一种方法,为了便于计算与应用,常将积分区间n等分,其中的每个节点作为求积节点,这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-科特斯(Newton-Cotes)求积公式,这里的n称为牛顿-科特斯公式的阶数。当n=1时,该公式即为梯形求积公式;当n=2时,为辛普森求积公式;当n=3时,为3/8辛普森求积公式;当n=4时,为布尔求积公式。

由文[1]我们知道,当 n≤7 时,牛顿-布尔公式是稳定的。而当 n≥8 时,出现负数,稳定性得不到保证。而且当n较大时,由于Runge现象,收敛性也无法保证。[2]故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。为了提高精度我们通常把积分区间分成若干子区间,然后在每个子区间上应用低阶牛顿-科特斯求积公式求积分,即为复化求积法。[3]

本文借助Matlab[4][5]符号计算系统,首先讨论不同的方法(即阶数的不同)对积分的精度与速度的影响,其次,讨论复化的子区间段数对积分误差的影响。

二、复化的牛顿科特斯求积算法实现

在积分区间[a,b]上取n+1个等距节点xk=a+kn(k=0,1,…,n),其中h= ,利用n次拉格朗日插值函数代替被积函数即得牛顿-科特斯求积公式:

f(x)dx≈(b-a) Ck(n)f(xk)

其中Ck(n)= t(t-1)…[t-(k-1)]×[t-(k+1)]…t(t-n)dt

为科特斯系数。表1列举了阶数n

表1 在n

这样,我们较为容易给出复化的牛顿科特斯公式的算法步骤:

(1) 给定子区间数N及牛顿科特斯公式的阶数n.

(2) 将区间[a,b]分成N个子区间,h= 且xk=a+kh(k=0,1…,N);

(3) 由给定的n求出牛顿科特斯系数;

(4) 在每个子区间[xk,xk+1]中,利用n次牛顿科特斯公式求出积分结果 ;

(5) 将每个子区间的积分结果求和即得近似的积分结果。

将上述算法用流程图表示,如图1所示。

图1 复化的牛顿科-特斯求积算法

三、对比分析

影响牛顿科特斯公式的误差的有两方面因素:阶数及复化时子区间个数。为研究二者对误差的影响,选取三类积分进行比较研究:(1) e-xsin xdx(2) dx(3) dx。误差采用积分结果与真值的差的绝对值。

(一)牛顿科特斯公式的阶数对误差的影响

考虑一般的牛顿科特斯公式的阶数对误差的影响,由于阶数大于7稳定性得不到保证,故取阶数n=1,...7,得出表2。

表2不同阶数的牛顿科特斯积分计算

观察表1中的误差行,发现误差呈递减趋势,故易知阶数越高误差越小;由表1中各耗时行可以看出随着阶数增加,耗时增加。因此当牛顿科特斯公式阶数增加时,误差减小,同时耗时增加。

特别地观察不同阶数下的误差阶,注意到当阶数小于4时,误差相对较大;阶数大于4时,误差相对较小,但随着阶数的增加,误差减小速度变慢。

观察三个函数当阶数高于4时的误差值发现,阶数取4、5时误差基本接近,阶数取6,7时误差基本接近;考虑到耗时随阶数数的增加而增加,故牛顿科特斯公式的阶数取4(即使用布尔求积公式)能得到比较理想的结果。

综上,在使用牛顿科特斯公式时,建议使用阶数为4。

(二) 子区间个数对误差的影响

由3.2我们知道,牛顿科特斯公式的阶数取4(使用布尔求积公式)较为理想,故在研究复化子区间个数对误差的影响时,取阶数为4。我们将区间段数分别取1、11、21、……、151,利用布尔求积公式计算复化的牛顿-科特斯求积结果及误差,结果显示为图2。

图2 误差随子区间个数变化曲线

由上图可以看出,随着子区间个数的增加,误差越来越小,然而当子区间个数达到90后,误差的减小速度减慢,这表明用复化的方法降低牛顿科特斯算法的误差时,当达到一定精度后再想使误差减小付出的代价较大,即运算量很大且耗时增加,不适宜再使用牛顿科特斯法。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 《现代应用数学手册》编委会编.现代应用数学手册.计算与数值分析卷[M].北京:清华大学出版社,2005.

[2] 黄云清等编著.数值计算方法[M].北京:科学出版社,2009.

[3] (美)里德(Leader,J.J.)张威等译.数值分析与科学计算[M].北京:清华大学出版社,2008.

[4] 张志涌等编著.精通MATLABR2011a[M].北京:北京航空航天大学出版社,2011.

[5] 邓薇.MATLAB函数全能速查宝典[M].北京:人民邮电出版社,2012.

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