苏格兰咖啡馆里的“战斧图”

波兰里沃夫大学教授巴拿赫喜欢同他的几个学生或友人跑到苏格兰咖啡馆去要上一杯咖啡,一泡就是三四个小时,他们共同讨论数学问题,乌拉姆也时常在座.直到乌拉姆的晚年,身处美国的他还一直怀念着那个咖啡馆的氛围,那种自由自在,悠然自得的心境,真是“终生难忘”.

巴拿赫和乌拉姆等人在苏格兰咖啡馆,有时会泡上十几个钟头,白色大理石的桌面上用铅笔写满了的数学论证和推导,写完了再讨论,尔后就是一阵笑语,呷口喷香的咖啡,一阵沉默,擦掉再写.巴拿赫甚至将一本笔记本存放在咖啡馆老板处,他们一来,老板便把本子连同咖啡一块送来,据统计,从1935年到1941年的六年中,总共记录了193个高深的数学题目,迄今为止大约还有四分之一的问题悬而未决.有趣的是来喝咖啡者有个约定,证明或解答了某个问题时便可获得软糖或蛋糕一块的奖励,当然还少不了鱼子酱和啤酒.

巴拿赫和乌拉姆是波兰数学界的骄傲,前者曾任波兰数学会主席,以研究用他的名字命名的巴拿赫空间、巴拿赫平均数、巴拿赫点阵、巴拿赫定理著称于世,其领导的里沃夫数学学派风靡全球,极大地推动了数学的发展. 后者乌拉姆则是一位出色的应用数学家,后来加入美国国籍,与冯・诺曼研制了第一颗原子弹,是美国总统科学顾问委员会的顾问.然而,这两位杰出的数学家的发明创造,大多都是在波兰里沃夫大学附近的苏格兰咖啡馆培育成长的.因而后人把“苏格兰咖啡馆”称为“数学家的摇篮”.

数学的讨论有利于推动数学的发展,数学沙龙无疑是讨论数学的好形式,“战斧图”便是明证.

斯坦因豪斯是二战时期波兰著名的数学家.平时,他工作之余,习惯和几位数学界的朋友一起到一家苏格兰的咖啡馆去,一边喝咖啡一边讨论数学问题. 在那里,斯坦因豪斯经常发表一些独到的见解,并能对别人提出的问题给出精彩的解答.著名的斯坦因豪斯图形(因形状有点像古代的战斧,所以又有人称之为“斯坦因豪斯战斧图”)就是在那家咖啡馆里产生出来的.

如图1中的阴影部分是由4段已知正方形边长的一半为半径的圆弧围成.(阴影部分确实有点像战斧吧!)

下面给出解法:

将阴影两端的月牙形(即斧头)剪下后,拼在“斧腰”的圆弧里,便得到和原图形面积相等的小正方形阴影(如图2),显然这个阴影部分的面积是正方形面积的一半.

还有许多其他的解法,请有兴趣的同学试一试吧!

同学们,为了更好地掌握数学知识,你们在闲暇时不妨也多讨论一些“繁难”的数学问题,或许在讨论中你还能得到课堂上学不到的知识呢!