浅议一则数学教学探究案例

山西孝义中学032300

摘要：本文从教学过程中学生就某一个问题的巧合回答入手，采取及时引导、检验探究、揭示规律、完善认知的教学方法，使学生从探究中获得快乐，并提出了解决此类问题的教学反思．

关键词：检验；探究；引申；推广；以生为本；动态生成

一、一则教学探究案例

题目：设x，y∈R且2x2+3y2=6y，则x2+y2的取值范围是_______.

经过同学们几分钟的尝试、思考讨论，形成如下解法：

解法1因为x2=（6y－3y2），

所以x2+y2=－（y－3）2+.

由x2≥0得0≤y≤2，

故x2+y2的取值范围是［0，4］.

点评通过相互代换消元，转化为一元函数，注意y的取值范围.

解法2因为+（y－1）2=1，

所以设x=cosα，y－1=sinα（α∈R），

所以x+y2=cos2α+（1+sinα）2

=－（sinα－2）2.

因为－1≤sinα≤1，

所以0≤x2+y2≤4.

点评通过引入第三变量α转化为一元函数，注意α的取值范围.

1. 问题提出的背景

这时，生1提出用数形结合的思想方法.

生1：2x2+3y2=6y表示的曲线为椭圆，如图1

[-][][O][-1][2][y][x]

图1

x2+y2可看成是该椭圆上的点到原点距离d的平方，不难看出，0≤d≤2，

所以0≤d2≤4

这种解法，同学们感到直观、简捷！

笔者心里明白，这是巧合，并非必然！这个问题不能放过，必须澄清，否则对学生产生不利影响！

2. 提出问题

师：生1提出了一个值得大家探究的问题，即椭圆上的点到椭圆短轴的一个端点的最远距离一定是短轴长2b吗？

（同学们积极思考起来，课堂上静悄悄的，几分钟过去了，也不见学生有新的发现）．

师：（提醒学生）是否可以先赋值（特殊椭圆）检验呢？

（一阵沉默之后）

生2：（激动地）不一定是2b，比如椭圆

+=1，长轴的一个端点到短轴的一个端点的距离为

=2>4=2b.

生3：我和生2的相似

A2B22=a2+b2，

B1B22=4b2，

[x][y][B2][B1][A1][A2][O]

图2

令a2+b2>4b2⇒2a2

所以只要椭圆的离心率e满足

师：生2、生3找到了最大值不是2b的反例，那么什么时候就是2b呢？生3同学的结论具有一般性吗？

（同学们探究的兴趣被激发得更浓了，同学们设出动点坐标（x，y）演算着、思考着、讨论着……笔者也在行间对同学们进行点拨……）

生4：（胸有成竹地）老师，这就是把刚才的具体问题进行了一般化的讨论．

3. 解决问题

生4走上讲台，板演如下：（笔者给予了帮助）

设椭圆方程为+=1（a>b>0），

求p（0，b）到椭圆上的动点M的距离的最大值d.

解析设M(x,y)是椭圆上任一点，

则PM2=x2+（y－b）2

=－y+

2+（－b≤y≤b）.

（1）若

则当y=－时，d=PM=；

（2）若≥b，即≥1，

即0

则当y=－b时，d=PM=2b.

师：同学们还有什么不同想法？

生5：可以引入第三变量将其化为一元函数！

设M（acosα，bsinα）（α∈R）是椭圆上任一点.

则PM2=a2cos2α+（bsinα－b）2

=－c2sinα+

2+

（1）若≥1，即b2≥c2，

即0

则当sinα=－1时，d=PM=2b；

（2）若

则当sinα=－时，d=PM=.

师：殊途同归，太棒了！大家把这个问题彻底澄清了！

（师生沉浸在探究发现的喜悦之中，这时，生6站起）

生6：老师，这个问题的几何意义也清晰了！

当0

当

师：生6同学总结得太正确了！

（同学们非常兴奋，笔者看了一下时间，发现马上就下课了）

师：课后可以继续讨论该问题的更一般的情况.

（第二天，同学们陆续把他们的探究成果交到笔者办公室）

4. 引申推广

经师生一起讨论，修改并完善得到如下结论.

结论1：设椭圆方程为

+=1（a>b>0），则p（0，k）到椭圆上的点的距离最大值d满足

（1）若k≤，则

d==（当y=-k时取到）；

（2）若k>，则d=b+k；

（3）p（0，k）到椭圆上的点的距离的最小值d′=b－k.

结论2：设椭圆方程为

+=1（a>b>0），则M（k，0）到椭圆上任一点的距离最小值d′满足

（1）若k≤，则

d′=（当x=k时取到）；

（2）若k>，则d′=a－k；

（3）M（k，0）到椭圆上任一点的距离的最大值d=a+k.

二、教学反思

1. 要树立“以学生发展为本”的教学理念

本节课顺应学生的“巧合”结论，提出了必须澄清的问题，引导学生思考、探索、演算、修改、讨论，最终解决问题，得出结论，并做了引申推广． 虽然这些结论和推广，早有定论，但这是学生自主提出和解决的“原创性成果”，这种探究对激发学生学习兴趣，培养学生观察能力、探究能力、思维能力是大有裨益的．

2. 营造“和谐”的教学氛围

只有创设和谐、宽松的课堂氛围，建立平等、民主、友爱的师生关系，才能激发起学生积极思考和探究的热情，学生才会大胆发表自己的见解，才能使学生真正成为教学活动中的主动参与者．

3. 要关注教学过程中的“动态生成”

教师在备课中不仅要备教师的教学活动，更要备学生的活动，尽可能考虑学生会怎么想，认真琢磨课堂中学生可能出现的问题，充分考虑师生、生生间的交流与互动． 同时要珍惜学生的问题，这些问题往往是思维的火花、探索的源泉，是难得的教学资源，因此，教学过程要关注“资源生成”，教学设计要讲究“动态生成”．

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