斜齿圆柱齿轮多对齿啮合载荷齿间分配的研究

摘要：多齿啮合的斜齿轮传动齿间载荷分配一直是斜齿轮传动研究的热点之一。从齿轮瞬时啮合刚度概念出发，利用有限元法计算啮合节点的法向变形，进而计算节点的啮合刚度，提出通过计算轮齿瞬时刚度来对多对齿啮合载荷齿间进行分配的方法，并建立多对齿啮合齿间载荷分配的计算模型。

关键词：多齿啮合 载荷分布 瞬时啮合刚度 有限元法

国内外已有较多学者对多齿对啮合载荷齿间载荷分配进行过研究[1,2]，文献[1]在不考虑接触参数对计算结果的影响分析得出当有双对齿参与啮合时，齿对1、2分别占总载荷的45%和55%；当有三对齿参与啮合时，齿对1、2、3的齿面载荷分别占总载荷的21%、62%和17%，文献[2]提出摩擦系数对啮合过程载荷分配影响不大的结论，但对于影响接触分析结果的其他参数未进行分析。

针对上述未能对多齿对啮合齿间载荷精确分配具体分析等问题，本文将多对齿啮合齿间载荷分配转换为对齿轮轮齿刚度的计算的模型，利用有限元法对节点载荷与法向变形位移进行分析，计算齿轮啮合刚度，根据刚度分配齿间载荷。不但能得到多齿啮合载荷齿间分配，也为齿轮的强度计算及齿轮修形提供理论依据。

1、建立齿间载荷分配分析模型

1.1 瞬时啮合刚度的概念

受载齿轮副在啮合过程中从动齿轮相对主动齿轮有一回转滞后量,反映到啮合线上即是齿轮副的啮合变形,在任意啮合位置的瞬时啮合刚度[2]为：

（1）

式中：——单位齿宽端面法向载荷（）；

——主动齿轮的传递扭矩（）；

——主动齿轮基圆半径（）；

——齿宽（）。

求解任意啮合位置的瞬时啮合刚度的实质是求解该位置的啮合变形，本文采用三维有限元法来求解。

1.2 节点载荷、柔度系数与法向变形方程的建立

将同时啮合的几条接触线离散为有限单元，各单元承担的线载荷转化为集中载荷作用在单元的节点上，利用有限元法求出各节点的柔度，结合变形协调条件和力平衡条件[3]建立起以节点力和啮合变形为未知量的线性方程组。

（2）

引入柔度系数，写成方程组的形式：

（3）

式中：——节点i的作用载荷（）

——节点j处作用单位力引起的主、被动轮齿在i点的法向变形之和；

——齿轮基圆螺旋角。

1.3 建立齿间载荷分配模型

假设每一对轮齿分别承担的载荷为，，…，总载荷为。

根据式（3）要求，分别计算出在对应载荷情况下，主、被动轮齿各节点的法向变形，计算各节点的瞬时刚度，再计算出主、被动轮齿在该载荷情况下各自的瞬时刚度和。

对于弹性体而言，其变形及刚度时可以当作是弹簧来处理，计算出串联后两弹簧的总刚度：

（4）

多对轮齿啮合时，相当于多个弹簧并联，则多对轮齿啮合时的总刚度：

（5）

由齿轮瞬时啮合刚度概念，根据公式（1）计算出在总载荷下的总位移：

（6）

由变形协调条件知齿轮啮合时同时啮合的几条接触线上的节点具有相同的啮合变形，对应齿啮合时承受的载荷为：

（7）

2、啮合线处节点法向位移的计算

由节1，节点啮合刚度与载荷和变形无关，在计算沿接触线节点的法向位移时，设定作用在每一点载荷为均布载荷。

2.1 有限元计算模型的建立

斜齿轮传动同时参与啮合的齿轮对可以通过计算齿轮传动的重合度。本文选择计算的齿轮基本参数为：如下表：法向模数mn（mm）为5.5，法面分度圆压力角为200，螺旋角为25.20，大齿轮齿数为102，小齿轮齿数为27，大齿轮齿宽122mm，小齿轮齿宽为125mm；斜齿轮配合参数：实际中心距397mm，总重合度为3.44，端面重合度为1.4344，基节为17.717mm。这里选取一对齿轮刚进入全齿啮合状态。

2.1.1 齿轮约束的确定

在约束齿轮时,将距离加载处4倍模数以外的节点去掉,并将距离加载处4倍模数的所有节点六个自由度全部固定。

2.1.2 载荷的施加

主动轮输入转矩为934，计算出。令全齿啮合时的载荷为，另一对齿为非全齿啮合，载荷为，则用于有限元计算的总载荷为。每对轮齿啮合处节点的载荷为均布载荷。

2.2 节点法向位移的计算及结果处理

有限元计算中，边界上的节点会出现计算边界效应，在计算节点法向位移时，必须去除边界处的节点。可对剩下的节点线形拟合，以计算出法向位移总和。

以第一对齿啮合大齿轮计算为例：有限元计算后取沿接触线上节点的位移。以齿轮端面圆柱中心为坐标中心，齿宽方向为横坐标，节点法向位移变化量为纵坐标，建立坐标系，去除边界处的节点，直线拟合（图1）。

同理计算出小齿轮在同样载荷情况下节点的法向位移。拟合直线合并到一张图上，如（图2）。

拟合后的直线方程为：

大斜齿轮：

小斜齿轮：

3、轮齿刚度分析及齿间载荷分布

3.1 轮齿刚度的计算

2.2节中详细计算了沿接触线节点的法向位移，由式（1）可计算出沿接触线上每一节点的刚度。

第一对全齿啮合：大斜齿轮并联总刚度：

小斜齿轮轴并联总刚度：

同理可以计算出其它齿轮的大小齿轮并联后的总刚度。

第二对全齿啮合：

第三对非全齿啮合：

3.2 齿间载荷的分配

3.1节分别计算出各轮齿的刚度，由式（4）计算出啮合齿轮对的等效总刚度。

第一对全齿啮合等效总刚度：

第二对全齿啮合等效总刚度：

第三对非全齿啮合等效总刚度：

齿轮的总刚度为：

由式（6）计算出在载荷作用下齿轮总位移：

由式（7）可以计算出啮合齿轮对所承受的载荷：

第一对全齿啮合承受载荷：

第二对全齿啮合承受载荷：

第三对非全齿啮合承受载荷：

3.3 齿间载荷的分配结果的分析

3.2节中计算出每对轮齿啮合时承受的载荷，同时也可计算出每对齿承受的载荷占总载荷的百分比分别为37.673%、39.883%、20.135%，利用接触分析方法计算出的三对齿啮合时1、2、3的齿面载荷进行比较。两种分析方法分析的结果表明：当有三对齿参与啮合时，第二对全齿啮合的轮齿承受的载荷是最大的，其次为第一对全齿啮合的轮齿，承受的载荷最少的是第三对非全齿啮合的轮齿；本文计算结果表明，第二对轮齿承受的载荷虽然最大，占总载荷的39.883%，但第一对全齿啮合的轮齿承受的载荷载总载荷中也占有很大的比重，为总载荷的37.673%。这与本文提出的按齿轮啮合刚度分配载荷的计算方法计算出的结果是一致的。

4、结语

本文提出一种新的计算多齿对啮合载荷齿间分配的方法。通过对接触线处节点法向位移的分析，具体分析计算出多对齿啮合齿间载荷的分配，为轮齿强度分析和齿轮修形创造条件。

参考文献

[1] 林腾蛟,李润芳等.斜齿轮的齿面载荷及啮合刚度数值分析.重庆:机械工艺师,2000.10.

[2] 包加汉能.齿轮啮合过程齿间载荷分配的有限元分析[M].安徽:安徽工业大学机械学院,2003.