恒成立问题中的含参问题

【摘要】高中阶段所包含的恒成立题，与之有关的函数很多、解题方法中会用到转化变量、引进参数、数形结合、借助关系式本身的几何意义等方法，很好地体现出学生在解决数学问题方面的能力，拓宽了学生解题的思路。因此，这一类数学问题就成为了最近几年高考出题的一个热点。

【关键词】高中数学 转化变量 主元更换 数形结合

在目前高中阶段含参不等式问题中，主要是求本题中参数的取值范围进而使原不等式恒成立，是高考中的一种常见题。

一、转化变量，引进参数

例1.若x∈R，x2log24（a+1）a+2xlog22aa+1+log2（a+1）24a2>0一定成立，求这道题中a的范围。

解：因为log22aa+1的值随着参数a的变化而变化，若设t=log22aa+1，则以上关系式就成为“当t为那些值时，（3-t）x2+2tx-2t>0一定成立”。

这个问题就可以转化成我们所非常熟知的函数的等价问题，求解关于t的不等式组：3-t>0

Δ=（2t）2+8t（3-t）

例2.已知一切角θ，sin2θ+2mcosθ+4m-1

解：将此式分离变量得m（2cosθ+4）0，则上述不等式就变为2m 2m必须小于f（θ）=cos2θcosθ+2的最小值，所以这道题必须求cos2θcosθ+2的最小值。因为f（θ）=cos2θcosθ+2

=（cosθ+2）2-4（cosθ+2）+4cosθ+2

=cosθ+2+4cosθ+2-4

≥4-4=0

即cosθ=0时，有最小值为0，故m

三、主元更换，转化解题思路

例3.已知0≤m≤1，方程x2+mx-2m-1=0有实数根，求这道题中实根的范围。

解：根据已知方程，以m为主元，则m（x-2）=（1-x）2，

由原方程知x≠2，得m=1-x2x-2，又0≤m≤1，即0≤1-x2x-2≤1

解之得-1-132≤x≤-1或1≤x≤-1+132。

四、数形结合，一目了然

例4.若x∈（0，4]，则不等式x（4-x）>ax一定成立，试求本题中a的范围。

解：若设y1=x（4-x），则（x-2）2+y21=4（y1≥0）为上半圆。

设y2=ax，为过原点，a为斜率的直线。

在同一个平面直角坐标系内，画出本题中2个函数图象。

由所画的图可知，y1的函数值必须要比y2的函数值大，所以这道题中a的取值范围是a

五、合理推理，借助几何意义

例5.不论k为何值，y=kx+1与x2+y2-2ax+a2-2a-4=0一定有交点，求这道题中a的范围。

解：（x-a）2+y2=4+2a，C（a，0），当a>-2时，则这条直线所过点A（0，1）一定在圆上或圆的内部，即点A（0，1）到圆心的距离小于或者等于圆的半径，即a2+1≤2a+4（a>-2），得-1≤a≤3。

六、分几种情况讨论，不重不漏

例6.若|m|≤2，2x-1>m（x2-1）总成立，求这道题中x的范围。

解：由|m|≤2这个条件想到把参数m分离出来，这就需要对x2-1这个式子进行分情况讨论。

①当x2-1>0时，使此式2x-1x2-1>m恒成立，则2x-1x2-1>2， 所以1 ②当x2-10恒成立，则x=1。

综上①②③得-1+72 目前高中阶段的数学中，含有参数的这一类不等式恒成立问题，这种题所含有的数学知识点特别多，解题方法也不唯一，但是这种题的核心就是进行等价转化，有了这种解题思想，做这类题就能以不变应万变，这就要求学生要通过做过的习题不断的总结和反思领悟。