恒成立问题中参数范围的求解策略

【摘要】二、巧选主元――数形结合性质法 当问题中主元与参变元不能分离，或以其中一元为主元问题较复杂，可交换位置确定主元，将问题转化为以新主元为自变量的函数，然后数形结合，巧妙解...

含参数的恒成立问题是高中数学中的一类重要题型，也是高考命题的热点问题。这类问题涉及的知识面广，要求有较高的解题技巧，因此它又是学习中的难点问题。下面谈谈这类问题的求解策略，供大家参考。

一、分离参数――最值法

当问题中主元与参变元能分离时，可进行分离参数，构造辅助函数，将问题转化为求辅助函数的最值问题来解决。

例1：已知定义在R上的奇函数f（x），且在（-∞，+∞）上是增函数，对任意实数θ∈R，求使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）>f（0）恒成立的实数m的取值范围。

解：由f（x）是R上的奇函数可知f（0）=0，得 f（cos2θ-3）>-f（4m-2mcosθ），从而得f（cos2θ-3）>f（2mcosθ-4m），因为f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，所以cos2θ-3>2m（cosθ-2）。θ∈R，cosθ-2 对于任意实数θ∈R时恒成立。设函数g(θ)= ，即m大于g(θ)的最大值。而g(θ)= = =（cosθ-2）+ +4≤4-2 ，当且仅当cosθ=2- 时取“=”，故m>4-2 。

二、巧选主元――数形结合性质法

当问题中主元与参变元不能分离，或以其中一元为主元问题较复杂，可交换位置确定主元，将问题转化为以新主元为自变量的函数，然后数形结合，巧妙解答。

例2：已知f(t)=log t，t∈［ ，8］，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x +mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范围。

解：t∈［ ，8］， f(t)∈［ ，3］即m∈［ ，3］。设g(m)=(x-2)m+x -4x+4，不等式x +mx+4>2m+4x对于m∈［ ，3］恒成立，即g(m)>0对于m∈［ ，3］恒成立。由一次函数图像性质可知：g( )>0且g(３)>0，故x2。

三、不变主元――直接法

不变主元，设出新函数，从参数入手分类讨论。

例3：（2007年高考题）设函数f(x)=e -e ，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围。

解：令g(x)=f(x)-ax，则g′(x)=f′(x)-a=e +e -a。

由于e +e ≥2 =2，（当且仅当x=0时，等号成立）

（i）若a≤2，当x>0时，g′(x)=e +e -a>2-a≥0，故g(x)在(0，+∞)上为增函数。

所以，x≥0时g(x)≥g(0)，即 f(x)≥ax。

(ii)若a>2，方程 g′(x)=0的正根x =ln ，

此时，若x∈(0，x )，则g′(x)

所以，x∈(0，x )时，g(x)

综上，满足条件的a的取值范围是（-∞，2］。

四、巧设函数――图像法

当问题直接入手不易解答时，我们可以根据题目所给不等式进行恰当变形后，巧设函数，再由函数图像之间的关系予以解答。

例4：设有函数f(x)=a+ 和g(x)= x+1，已知x∈［-4，0］时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围。

解：f(x)≤g(X)即a+ ≤ x+1，移项得 ≤ x+1-a，

设函数h(x)= ，k（x）= x+1-a，欲使x∈［-4，0］时f(x)≤g(x)恒成立，只须x∈［-4，0］时函数h(x)的图像不在函数k(x)的图像上方，而函数h(x)= （x∈［-4，0］）的图像是半圆：（x-2） +y =4(y≥0)，函数k(x)= x+1-a的图像是直线：y= x+1-a，当直线与半圆相切时有： =2，解得：a=-5或 （舍）。

相切时直线的纵截距是6，1-a≥6，a≤-5即为所求。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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