齿轮啮合刚度及齿轮动力学研究

摘 要：影响机床加工精度的误差主要表现在主轴、导轨、传动系统、机床零件的磨损等方面，其中对主轴误差影响最大。这是因为机床的高度自动化对主轴的转速、功率、变速响应及稳定性、刚度和回转精度、主轴转速变化范围等提出了更高的要求。

关键词：机床主传动；啮合刚度；齿轮动力学

引言

主轴上的部件在加工时处于中高速旋转的状态，这就要求主传动部分具有良好的动态特性。影响主传动的动态特性包括主轴本身结构参数因素、主轴和轴承之间的结合部的动态特性以及传动齿轮的动态性能。

1 齿轮轮应力应变方法研究

现代齿轮传动系统对齿轮的静/动态特性提出了更高的要求。齿轮的变形包括在齿面接触区域变形和整体的弯曲变形以及剪切变形等。对齿轮的设计而言，建立精确的计算模型，准确求解受载轮齿的应力与变形是齿轮设计的关键。轮齿应力分析和轮齿变形分析是齿轮设计的重中之重：①轮齿应力分析是齿轮承载能力计算的基础；②轮齿变形分析则是齿轮传动动态性能与齿廓修形研究的依据。轮齿应力与变形研究方面，齿轮研究者采用不同的分析方法并且已经获得了许多成果。

关于齿轮轮齿的弯曲应力和变形计算方法大致有材料力学方法、弹性力学方法和数值方法。引入各类齿轮标准的是经典的材料力学计算方法，考虑弯曲和压缩效应的弯曲强度设计公式。齿根应力计算中的“平截面法”（图1-2a）为绝大多数国家所采用。由大量试验得知，齿根弯曲疲劳裂纹发生在局部应力最大的地方，且裂纹是沿着过渡曲线的法线方向，因此着重研究折截面ADB （图1-2b）上的应力变化规律更合适，即“折截面法”。

材料力学法由于模型与实际齿形相差较大，因而较难准确地反映复杂齿形、过渡曲线以及传动系统对轮齿应力和变形的影响。以保角映射法为代表的平面弹性力学法应运而生。保角映射法的实质是将轮齿曲线边界映射为直线边界，由作用在半平面上集中力复变函数求解出半平面的位移场，从而得到轮齿受载点的应力和变形。

随着计算技术的发展，工程中的数值方法在求解精度和经济效益上都有很大的改进和发展。在接触问题的研究传统上主要以Hertz 接触理论为基础。利用计算机技术，人们提出了各种适用而有效的数值计算方法，如有限元法，边界元法和数学规划法等。其核心是泛函、变分原理和最小势（余）能原理。

解析法中的“悬臂梁”为代表的轮齿模型存在如下不足：①粗短的轮齿无法满足标准梁模型所要求的长高比；②齿廓梯度的急剧变化和齿根应力集中无法用等强度梁理论来模拟；③计算加载点和危险截面位置的确定需完善；④不能直接计算齿间载荷分配、齿向载荷分布、传动系统变形以及齿轮制造、装配误差与磨损的影响。

保角映射法在轮齿应力与变形的精确求解中较“悬臂梁”轮齿模型进步，但这种方法也存在一定的局限性：①映射函数的精确程度及计算公式的复杂性，很难向空间弹性问题推广；②考虑复杂齿形、轮缘厚度、支承条件乃至整个传动系统时建模与计算困难；③计算中很难记入加工误差、装配偏差及磨损等因素。

实验分析方法在齿轮应力和变形的研究进程中起着重要的作用，如①对理论计算的解析解进行验证；②把一些经验公式进行回归拟合。但也不能完全用这种方法进行齿轮的分析和设计，用这种方法①不能完全模拟材料特性和边界条件；②实验原理、光路仪器、图像采集和数据处理相关的试验误差会给结果带来很大影响。

目前，光弹法大多用于定性验证和探索性研究，在精细分析中作用有时受到限制。数值分析方法在齿轮的弯曲应力，齿面应力应变方面起到较大作用。其应用范围已不局限于应力应变分析的各个方面，齿轮弹性有限元分析已经成为齿轮综合刚度分析、理想修形曲线和轮齿齿形设计的基础。由于运用有限元方法在模型的选择上因设计者而异，不同的有限元模型所得的计算结果相差很大，而且模型的选择与设计者的经验有很大关系。用有限元方法解决三维问题时，把求解区域划分单元，离散化非常困难，模型复杂，数据量大，需要求解的线性代数方程阶次高等因素，对设计者要求较高。

2 齿轮啮合刚度及齿轮动力学研究

在齿轮传动中，由轮齿的弹性变形引起的刚度激励是齿轮啮合的主要动态激励之一，确定啮合轮齿的啮合刚度一直是齿轮动力学的重要任务。齿向载荷分布步是均匀的，尤其是斜齿轮传动中轮齿啮合的接触线是倾斜的，接触线上的载荷分布是非均匀的，齿轮轮齿不能简化为二维平面问题，而必须作为三维问题进行分析，因而使其啮合刚度的计算变得更为复杂。求解齿轮啮合刚度的方法主要有三种：①将齿轮轮齿简化成悬臂板的方法；②积分方程法；③有限元法。这三种方法都可以得到较为精确的结果，然而，通常它们的表达式十分复杂，不利于求解齿轮系统的动力学方程。

由于齿向载荷分配复杂，ISO在进行计算时加入了齿向载荷分配系数，同过加入的系数使结果接近真实承载情况。很多学者对ISO载荷沿接触线载荷呈线性分布模型提出了置疑，提出了三次抛物线分布模型和n次抛物线模型。由此看出，基于ISO 的刚度计算方式欠妥。

影响啮合歪斜度的因素很多，各种因素又不是独立的，而是相互影响的，为了分析问题和计算上的方便，按照误差的性质可分为如下三类：

（1）空间几何因素：它是由各种结构要素所决定的齿形在齿宽方向的误差，如齿向误差、齿轮轴承孔的偏斜误差、轴承的径向间隙以及轴承与壳体的配合间隙等。

（2）机件的刚度因素：因为机件不是绝对的刚体，在载荷的作用下将发生弹性变形，这些变形量将影响齿形在齿宽方向实际位置变化，如齿轮的弯曲、扭转和接触变形、轴的弯曲扭转变形、齿面和壳体的变形等。

（3）工作条件因素：上述条件是内因，工作条件则是外因，它通过内因而引起的齿形在齿宽方向的变形，如传递的载荷及轴向力的匹配将引起机件的倾斜和变形，工作温度的不同将引起热变形的不均匀，跑合效果将改善齿形在齿宽方向的接触。

参考文献

[1] 孟光，孟国庆，詹世革等.关于加强针对国家重大装备的动力学与控制研究的建议.力学进展，2007，37（1）：135-142

[2] 张春梅，田效伍.提高主轴轴承精度和刚度的措施.机床与液压，2004，9：195-19