基于反函数概念的教学研究

摘 要： 反函数概念是中学数学中的一个难点，本文作者就反函数的教学提出了自己的一些看法。

关键词： 反函数 概念 教学设计

学生普遍对反函数一节的理解和灵活运用上存在一定困难，根据学生反映出的情况，我对反函数一节中的教学内容提出一些建议.

我认为教学重点应该放在：反函数概念、求法、图像关系，并基于图像来理解.教学难点主要有：①f（a）=b?圳f（b）=a的应用；②复合函数的有关问题.

一、定义的内涵

1.定义讲完后，提出问题“任何函数都存在反函数吗？”进而启发、诱导学生得出反函数存在的条件：确定函数的映射f:AB是从定义域A到值域B的一一映射，则函数f（x）存在反函数.

逆映射：f:AB所确定的函数y=f（x），x∈B，y∈A，叫y=f（x）的反函数，f（a）=b?圳f（b）=a.

2.进一步提供了反函数存在性的判断方法：

①代数法：x≠x?圯y≠y即≠0（x≠x）.

②几何法：图像上任两点连线不平行于x轴，也不与x轴重合.

例如：y=，y=，y=x+，y=+x等.

（反函数的常规解法及步骤，重要条件在此不述了.）

二、互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f（x）的关系

在这里要让学生搞清x=f（x），y=f（x），y=f（x）三者之间函数图像关系.

三、特例

反函数图像自身关于直线y=x对称，函数自身定义域等于值域，在解一些有关此类函数题时，可以应用.（如下表）

例1.若函数y=（a≠）的图像关于直线y=x对称，则a=?摇?摇?摇?摇.

解：依题意，y=（a≠）的反函数是其本身，则定义域A与值域C相同.

A={x|x≠-}，C={y|y≠}且A=C,

-=,得a=-5.

四、复合函数的反函数

y=f（ax+b）的反函数y=；

y=f（ax+b）的反函数y=.

例3.设函数f（x）=，函数g（x）的图像与y=f（x+1）的图像关于直线y=x对称，则g（1）=?摇?摇?摇?摇.

五、常用结论

1.一个函数y=f（x）在定义域A上存在反函数是这个函数在A上单调的必要非充分条件.

2.若函数y=f（x）在定义域A上单调，则y=f（x）一定存在反函数y=f（x），且y=f（x）在其定义域B上具有相同单调性.（A、B不一定相同）

3.f［f（x）］=x（x∈C）； f［f（x）］=x（x∈A）.

4.若一个奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数.（若补充了“奇偶性”，可讲此点.）

5.若函数y=f（x）与其反函数y=f（x）的公共点不一定都在y=x直线上.

六、补充练习

1.函数y=f（x）的反函数y=f（x）的图像与y轴交点于P（0,2），则方程f（x）=0在［1，4］上的根是x=?摇?摇?摇?摇.

2．函数f（x）=log（x+b）（a＞1,a≠1）的图像过点（2,1），其反函数的图像过点（2,8），则a+b等于?摇?摇?摇?摇.

3.函数f（x）=x-2ax-3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（）

A.a∈（-∞，１］B.a∈（2,+∞）

C.a∈［１，２］ D.a∈（-∞,1］∪［2,+∞）

4.已知函数y=f（x）是奇函数，当x≥0，f（x）=3-1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（-8）=?摇?摇?摇?摇.

5.f（x）是函数f（x）=（a-a）（a＞1）的反函数，则使f（x）＞1成立的x的取值范围是（）

A.,+∞ B.-∞,C.,aD.［a,+∞）

补充练习答案：

1.x=2

2.a+b=4

3.D

4.x=-2

5.A

参考文献：

［１］乔治.波利亚.数学的发现.科学出版社，2006.7，第一版.

［2］张雄等.数学方法论与解题学研究.高等教育出版社，2003.8，第一版.

［3］余元希等.初等代数研究.高等教育出版社,1988年版1999年12次印刷.

基金项目：西安文理学院教改立项《幼儿教师数学文化观念的调查分析与应对侧略》（2010C202）。

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