向量外积在解题中的应用

摘 要： 本文通过构造向量，利用向量外积的几何性质，巧妙地解决初等几何中一类有关面积、垂直，以及共线等数学问题。

关键词： 向量外积 数学问题 应用

在空间解析几何中，向量，的外积定义如下：向量，的外积×是一个向量，其模|×|=||||sin∠（，），其方向与，均垂直，并且{，，×}为右旋向量组.由两向量的向量积的定义可知，若两个向量，共线，则×=若两个向量，不共线，则与外积的模等于以，为邻边的平行四边形的面积.

1.相关结论

命题1：三个向量，，所构成的三角形的面积为：

S=|×|=|×|=|×|.

用向量的坐标表示可以得到：

推论1：在ABC中，若三角形三个顶点坐标分别为A（a，a），B（b，b），C（c，c），则三角形的面积为：S=a a 1b b 1c c 1?摇.

推论2：若三点A（a，a），B（b，b），C（c，c）满足a a 1b b 1c c 1=0，则A，B，C三点共线.

将命题1推广到由四个向量所构成的平面凸四边形的面积，则有：

命题2：首尾顺次相连的四个向量，，，所构成的平面凸四边形的面积为：S=|×+（+）×|=|×+×+×|.

将命题2进一步推广可以得到：

命题3：n（n＞2）个向量，，…，首尾顺次相接所构成的平面凸n边形的面积为：S=|×+（+）×+…（++…+）×|.

2.应用举例

对于一些数学问题中，可以通过构造向量，以及利用向量外积的几何性质巧妙地解决.

2.1应用向量外积的几何性质可以解决一类与面积有关的数学问题.

例1.已知点A（2，1），B（3，4），C（-2，2），求ABC的面积.

解：由命题2知，ABC的面积为S= 2 1 1 3 4 1-2 2 1?摇=.

例2.证明：（推广的勾股定理）如图1，在直角三棱锥OABC中，（S）+（S）+（S）=（S）.

证明:如图1，设=，=，=，则=-，=-，（S）=|×|=|（-）×（-）|=|×+×+×|

由于OA，OB，OC两两互相垂直，因此分别与OA，OB，OC共线的三向量×，×，×也两两垂直，即有（×）•（×）=0，（×）•（×）=0，（×）•（×）=0，从而（S）=|×|+|×|+|×|=（S）+（S）+（S）.

例3.如图2所示，已知ABC的面积为8，在ABC的边AB，BC，CA上分别取三点D、E、F，使AD=2DB，BE=EC，3CF=FA，求DEF的面积.

解：设=，=，则=-，S=|×|

从而=+=-，

=+=-.

所以：

S=|×|=|（-）×（-）|=|×|=S=3.

例4：如图3在凸四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的延长线上取点E，F，G，H，使BE=AB，CF=BC，DG=CD，AH=DA，求证四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的5倍.

证明：设=，=，=，则=++，=3++，=2-，=2-

所以，四边形EFGH的面积为：

S=|×+×+×|

= |（3++）×（2-）+（3++）×（2-）+（2-）

×（2-）|

=|×+×+×|

而四边形ABCD的面积为S′=|×+×+×|，从而命题得证.

2.2应用向量的外积几何性质还可以解决有关垂直，以及三点共线（向量共线）等数学问题.

例5：如图4，设G是正方形ABCD内的任意一点，分别以GA、GB为一边在GAB外作正方形AGMN和GBEF，求证：AENC且AE=NC.

证明：设=，=，则=-

取为垂直于平面GAB向上的单位向量，

于是=（-）×，

从而=+=+（-）×.

又因为=×，=×，

所以=++=-×++×=+（-）×.

从而=，即AENC且AE=NC.

例6.设H为ABC的垂心，而D、E、F为三个高的垂足，由D点分别作AB、BH、CH、CA的垂线，其垂足分别为K、L、M、N，试证K、L、M、N四点在同一条直线上.

证明：以点D为坐标原点，以边BC所在直线为x轴建立如图所示的坐标系xoy，并设A、B、C三点的坐标分别为（0，a），（b，0），（c，0）显然可以求出H（0，-），

K（，），L（，-）

M（，-），N（，）

且有

1 1 - 1=0，这表明N、K、M三点共线，

又有 1 1 - 1=0，这表明N、K、L三点共线，

从而K、L、M、N四点在同一条直线上.

参考文献：

［1］吕林根，许子道．解析几何（３版）［M］．北京：高等教育出版社，1987．

［2］毛纲源．高等数学解题方法技巧归纳（下册）［M］．武汉：华中科技大学出版社，2002.

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