基于Copula函数的信用风险度量模型

摘 要：在信用风险度量方面，单纯的利用模型计算每个企业的违约概率或损失已经不能准确得出组合信用风险的度量值。同时，随着公司间相互关系日渐复杂、共同违约事件逐渐增加，需要把各个经济实体间的违约相依性纳入信用风险管理体系。文章考虑将Copula函数与信用风险度量结合，改进原有的度量模型，为更好地控制违约相依的风险提供理论基础。

关键词：结构模型；Copula函数；相依违约

1 概述

组合信用风险的度量对于信用管理来说是一个重要的问题。随着经济的发展，企业间的相关联系越来越强，将企业的相关性纳入度量模型是现今需要解决的问题企业之间。企业之间存在着各种各样的关系，不同的经济关系可能会导致财务危机从一个企业向其他企业扩散，造成违约传染效应。如果企业间的依赖性较小，对整个系统风险影响也较小，反之，如果企业间有较强的依赖关系，那么这个企业的违约有可能对整个系统的损失造成很大的影响，即一损即损。公司间存在的各种相关关系都可能会引起违约风险的传染，如交叉持股、连环担保及借贷关系等。一家公司违约的变化使得市场对这些关联公司的违约风险进行重新评估。为避免这样的骨牌连锁效应的出现及保证金融市场的稳定，需要考虑公司间的违约相关性。近几年中，Copula在金融风险研究中已有了很大的发展及应用。在研究组合违约行为的非对称、非线性的相关关系上，主要是以Copula 函数理论为基础的相关性度量提供了更广泛的技术。关于组合违约相关性的研究，主要以企业信用风险度量理论为基础，从不同角度研究组合信用资产之间的相关性结构，从而为全面认识组合信用风险和管理风险提供理论基础。

2 Copula函数介绍

2.1 Copula函数基本理论

定义（Nelsen 1998）n维函数C：In=[0，1]n[0，1]=I满足如下条件：

由定义可知，Copula函数是一个多变量的均匀分布，它把多元随机变量的联合分布与其一维的边际分布联系起来，通常被称为连接函数。

2.2 Copula的选择方法

在实际问题研究中，不同的Copula函数可能会导致不同的分析结果。那什么样的Copula函数会更好地解决问题、更好地描述变量间的相关结果？这是我们所面临的一个重要问题。下面简单介绍一些常用的Copula函数选择方法：

（1）解析方法：K-S检验法、？字2拟合优度检验法及其变形

K-S检验是对一维分布函数进行的检验，如果要想用K-S方法对二维分布或更高维分布函数进行检验，则首先将二维分布或更高维分布函数通过降低维数才能实现。降维之后，二维分布的部分信息就会遗漏，不利于二维分布的选择。针对此缺点，为了避免因降维而造成信息的遗漏，充分利用信息，文章直接介绍对二维分布拟合的方法。

（？字2拟合优度检验法）设（U，V）为随机变量且边际分布均为[0，1]上的均匀分布，其联合分布函数为Copula函数C（u，v，？兹），（uk，vk）（k=1，2，...，n）为样本观测值，将[0，1]2均匀分割成m×m个单元格G（i，j）（i，j=1，2，...，m），记落入单元格G（i，j）内的实际频数为Aij，落入单元格G（i，j）内的理论频数为Bij，则在零假设成立时H0：（U，V）～C（u，v，？兹），统计量

渐进服从自由度为m2-1的？字2分布。对检验水平？琢，当M>？字2？琢（m2-1）时拒绝零假设。

（2）基于相关性度量对Copula函数选择：基于秩相关系数，基于尾相关系数

秩相关系数Kendall ？子

？子的定义为：

其中，（X1，Y1）与（X2，Y2）独立同分布，与（X，Y）同分布。

基于{（xi，yi）}1？燮i？燮n（（xi，yi）为样本空间第i次观测值）的？子的估计值为：

若（X1-X2）（Y1-Y2）>0则称（X1，Y1）和（X2，Y2）是协同的，即表明X的变化和Y的变化协同；反之，若（X1-X2）（Y1-Y2）

秩相关系数Spearman ？籽

设（X1，Y1）（X2，Y2）（X3，Y3）是相互独立并且与（X，Y）具有相同分布的二维随机向量，定义X与Y的Spearman秩相关系数如下：

（3）选择原则：

基于？字2拟合优度检验法得到的统计量M值越小越说明Copula对实际数据的拟合程度就越高，主要两条选择原则：一是Copula函数要通过拟合检验；二是在通过检验的Copula函数中选择检验统计量值最小的Copula函数。

3 结构化模型中引入Copula函数

结构化模型首次是由Merton提出的，它的信息集是建立在可连续观察的公司价值和负债上，当公司价值小于负债时，则违约发生。Merton模型中违约只发生在债券到期时，但是实际表明债券到期前的任何时期违约都有可能发生。为更符合现实情况，Black-Cox将首达时间模型引入到随机违约事件中，考虑了违约时间的随机性。

下面我们具体介绍在结构模型中引入Copula函数的过程：

3.1单个企业的违约随机模型的建立

（1）违约时间？子

在结构化模型建模中，我们把违约发生的时间称为违约时间。违约时间是结构化模型建模的基础。根据违约定义，违约时间？子的分布是由遵循扩散过程的公司价值V首次到达违约阈值 的时间决定的：

其中，t为初始时点，T为债务到期日。

（2）违约概率

在结构化模型中，称在风险中性条件下[t，T]上发生违约的概率为违约概率，表示为：

当Bs为固定值时，记公司资产价值在[t，T]上的最低点为：

则公司在[t，T]内发生违约的概率可以表示为：

因此根据期权定价公式可进一步得出违约概率为：

3.2违约相关的分析

考察n个公司的信用组合，t时刻的违约概率为DPi（t）=P（Vi（t）

在市场中，我们假设关于公司违约特征的信息是完全的，公共信息用滤波gt来描述，我们可以写出在公共债券市场下的条件违约联合概率：

设n个资产服从相关系数矩阵为R的联合正态分布，则联合违约概率的分布函数为：

即联合违约概率是边缘违约分布的函数。用Copula函数表示为：

参考文献

[1]Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M].New York：Springer，1998.

[2]Merton R.C.On the pricing of corporate debt：the risk structure of interest rates[J].Journal of Finance，1974，29：449-470.

[3].Kay Giesecke.Correlated default with incomplete information[J].Journal of Banking and Finance ，2004，7：1521-1545.

[4]王小丁.基于违约相依的信用风险度量与传染效应研究[D].湖南：中南大学，2010.

[5]李健伦，方兆本，鲁炜，等.Copula方法与相依违约研究[J].运筹与管理，2005，6（3）：111-116.