六个等价命题

【摘要】

本文总结性的描述了实数系连续性和完备性的若干等价定理，即：单调收敛定理，上（下）确界定理，边界点定理，区间套定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则。

【关键词】

等价；命题

一、引言

实数系的连续性和完备性是实数的一个重要特征，与之相关的若干基本定理，即：单调收敛定理、上（下）确界定理、边界点定理、戴德金分割定理、辛钦定理、区间套定理、聚点原理、有限覆盖定理、致密性定理、柯西收敛准则，它们是彼此等价的。这些定理从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且他们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数介值定理、一致连续性定理等。因此在理论上具有重要价值。

实数系的连续性是分析学的基础，对于我们学习的极限论、微积分乃至整个分析学具有无比的重要性。实数系R的连续性，从几何角度理解就是实数全体布满整个数轴而没有“空隙”，但是从分析学的角度阐述，实数系的连续性有多种表述方式且彼此等价，因此可以被相互推证。把这些定理的相互证明详细地整理出来，并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律。

至此，我们已完成了实数系六个基本定理的完全互证方法的分析，归纳了从任意一个定理带其他定理的证明方法。这些定理的互证被这样梳理后，使得我们理解这些证明不再那么的抽象和无所适从。

参考文献：

[1]Edwards C H Jr.The historical development of the calculus[M].New York：Springer，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].第3版，北京：高等教育出版社，2001.

[3]菲赫金哥尔茨.微积分学教程：第1卷[M].杨亮，叶彦谦，译.北京：高等教育出版社，2006.

[4]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程：上册[M].第2版.北京：高等教育出版社，2006.

[5]王昆扬.简明数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[6]杨宗磐.数学分析入门[M].北京：科学技术出版社，1958.

[7]曹发祯.实数理论中七个基本定理的等价性的一种证明方法[J].佛山师专学报，1983（1）：7277.

[8]陈保存.实数理论中几个基本定理的等价性[J].四平师院学报：自然科学版，1981（1）：9197.

[9]廖学余.单圈证明——实数连续性的九个命题的等价性[J].鄂西大学学报，1986（1）：8790.

[10]张炳诚.实数连续性的若干个等价命题[J].内蒙古电大学刊：自然科学版，1994（3）：16.

[11]许树珊.用辛欣原理直接证明实数连续性的其它若干等价命题[J].镇江师专学报：自然科学版，1987（总4）：1115.

[12]朱时.数学分析札记[M].贵阳：贵州教育出版社，1994.

[13]吴运恢.用聚点原理直接证明实数连续性的其它几个命题[J].恩施师专学报，1982（1）：2832.

[14]冯孔荣.用有限复盖定理直接证明关于实数的其它几个定理[J].恩施师专学报，1982（2）：5659.