翻着问题看“三面”

让我们从两道翻折题讲起．

例1（2009年高考数学浙江卷（理科）第17题）如图1所示，长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC中点，F为线段EC（端点除外）上一动点． 如图2所示，将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABCF． 在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足． 设AK=t，则t的取值范围是．

例2（2010年高考数学浙江卷（理科）第20题）如图3所示，在矩形ABCD中，E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4. 沿直线EF将AEF翻折成A′EF，使平面A′EF平面BEF.

（1） 求二面角A′-FD-C的余弦值；

（2） 点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长．

根据统计，这两题的得分率较以往高考中出现的立体几何题（非翻折问题）均有明显的下降，同学们对例1及例2的第（2）小题普遍感到无从着手．

对例1的困惑： “求AK的取值范围”预示着K是一个动点. 当F确定时，将AFD沿AF折起（见图2），只有翻折角度恰到好处，才有可能使平面ABD平面ABC，此时，D在平面ABC上的射影就是题目所给的点K． 可见，F定则K定，F动则K动，但K是D“先折起再投下”产生的射影，要得到AK与DF的关系，必须分析翻折过程． 应该从哪里入手呢？

对例2第（2）小题的困惑： 立体几何中的计算题，一般总是先明确告诉我们几何体中的一些长度、角度和线面关系，再让我们去求别的量. 然而，例2第（2）小题提供的信息却是：在图3中，“若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长”． 这样的条件应该如何利用呢？

解惑： 同学们对两道题的困惑都是因为不知道从什么角度看翻折问题，不能从翻折过程中理出可用于解题的线面关系． 如果从立体几何的角度来分析几乎人人都玩过的折纸游戏，就会发现翻折其实包含着一些看似简单却十分重要的性质．如图4所示，这是一张矩形纸片，假设AMN沿MN折起成为A′MN，如果我们把AMN所在的平面称为“前面”，把A′MN所在的平面称为“后面”，把垂直于折线MN的平面A′HA（A′HMN，AHMN)称为“垂面”，则可得出下列结论：

（1） “前后”重叠量不变――“前面”这一平面内的距离、角度等，经翻折后与“后面”上相应的距离、角度等重合的量不变．例如，“前面”内任意两点变为“后面”内两个新的点，但两点间距离不变（如AM=A′M）；同样地，“前面”内一个角翻折至“后面”，角的大小也不变，如AHMN（H为垂足），则A′HMN．

（2） “变量”大小由角定――翻折前后变化的量随翻转角大小的变化而变化． 例如，在A′N上取一点P′，则P′C的长度及它与平面ABC所成的角均会随翻转角大小的变化而变化，A′在“前面”中的射影位置也是由翻转角决定的．

（3） 垂面显现翻转角――垂直于折线的平面显示翻转角．图4中的∠AHA′就是二面角A-MN-A′的平面角．其实，这相当于作了一个垂直于折线MN的平面A′HA，换个位置作这样的垂直平面，也一样能产生二面角的平面角，例如图4中的∠PKP′．这一性质对于解题至关重要．

综上所述，翻折问题应当看三个平面：“前面”“后面”和“垂面”. 应充分利用那些翻折前后不变的量. 而对于变化的量，则应通过作垂面找二面角的平面角来展开计算，因为一切变化有赖于此角！

例1解析： 如图5所示，已知平面ABD平面ABCF， DK?奂平面ABD且DKAB， DK平面ABCF， DKAF. 作KHAF交AF于H，由AFDK，AFKH可得AF平面DHK． AFDH．

如图6所示，将立体图形还原为矩形， AFDH，AFKH， ∠AHD=∠AHK=90°， D，H，K三点共线． 由此，问题转化为“当F在线段EC上运动时，过D且垂直于AF的直线与AB交于点K，求AK的取值范围”．

∠ADK=90°-∠DAH=∠DFA， RｔDAK∽RｔFDA． 当F从E向C移动时（不包括E，C），AK的长度逐渐变小． 若F与E重合，则AK=DE=1． 若F与C重合，则由DAK∽CDA解得AK=. AK的取值范围为，1.

例2解析： （1） 如图7所示， AF=AE=4=A′F=A′E， AFE和A′FE是等腰Rt． 设H为线段EF的中点，可得A′HEF，AHEF， ∠A′HA为二面角A′-EF-A的平面角． 平面A′EF平面AEF， ∠A′HA=90°．

作HGAF交AF于点G. A′H平面AEF， A′HAF，HGAF， AF平面A′HG， AFA′G. 又HGAF， ∠A′GH 就是二面角A′-FD-C的平面角．

HG∥AE，又H为EF中点， HG是AEF的中位线， HG=AE=2． A′H是等腰RtA′EF底边上的高， A′H=AFsin45°=2． 在RtA′HG中，由勾股定理可得A′G=2． ∠A′GH是二面角A′-FD-C的平面角， 二面角A′-FD-C的余弦值为cos∠A′GH==．

（2） 如图8所示，沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，当C与A′重合时，CM=A′M，且线段CM与A′M的长度均取决于点M在AD上的位置．

设FM=x. 四边形ABCD是矩形，AF=FD=4， FD=6，AD=10， MD=FD-FM=6-x． GH是AEF的中位线， GF=AF=2． MG=GF+FM=2+x. 在RtMDC中，CM2=MD2+CD2=（6-ｘ）2+82．

GHAM，GH=AE＝2，MG＝2+ｘ， MH2=MG2+GH2=（2+ｘ）2+22． A′H平面AEF， 在RtA′HM中，A′M2=A′H2+MH2.又由（1）可知A′H＝2， A′M2＝（2）2+［（2+ｘ）2+22］．

由CM=A′M解得x=，即线段FM的长为．

为了进一步体验以上解题方法，我们将例2的第（2）小题加以引申.

问题1在例2的条件下，求二面角A′-MN-C的正切值．

解析： 如图9所示，沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，过点H作HOMN. A′H平面AMN， A′HMN．又 HOMN， MN平面A′HO． MNA′O． 又 MNHO， ∠A′OH是二面角A′-MN-H的平面角．

CO翻折后与A′O重合， CO=A′O． A′OMN， COMN． ∠A′OC是二面角A′-MN-C的平面角．

C，O，H，MN在同一平面上，又COMN，HOMN， C，O，H在同一条直线上． ∠A′OH是二面角A′-MN-C的平面角∠A′OC的补角．

由例2可得GH，GD，CD的长度均已知， 在直角梯形GDCH中，计算可得HC=10. 设HO=a，则CO=HC-HO=10-a． CO=A′O，A′H平面AMN，又由例2知A′H=2， A′O2=HO2+A′H2=a2+（2）2=（10-ａ）2＝CO2，解得ａ＝． ｔａｎ∠A′OH＝＝. 二面角C-MN-A′的正切值为ｔａｎ（π-∠A′OH）＝-.

问题2如图10所示，在矩形ABCD中，E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4. 沿直线EF将AEF折起，再沿EC将BEC折起，使点A，B重合于点A″，求二面角A″-EF-C的正弦值．

解析： 如图10所示，设H为EF的中点，Q是A″在平面AEF上的射影，AR平面AEF． 以A为原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向，建立空间直角坐标系． 计算可得H（2，2，0），C（10，8，0）. 设A″（x，y，z），则Q（ｘ，ｙ，0）．

四边形ABCD为矩形，AF=AE=4， AEF为等腰Rt，其斜边EF的中垂线AH过原点，倾角为45°． 同理可知， A″EF也为等腰Rt， A″在平面AEF上的射影Q在AEF斜边的中垂线AH的延长线上， x=y （①）．

由A″H为等腰RtA″EF底边上的中线可求得A″H=2， 2=（ｘ-2）2+（ｙ-2）2+ｚ2＝（2）2（②）．

沿EC将BEC折起，B重合于A″， A″C=BC=10， 2=（ｘ-10）2+（ｙ-8）2+ｚ2＝102 （③）． 联立①②③式解得x=y=，z=. 即A″，，，Q，，0． =.

A″HEF，A″QEF， EF平面A″HQ， QHEF， ∠A″HQ是二面角A″-EF-C的平面角． 又A″Q平面AEF， 二面角A″-EF-C的正弦值sin∠A″HQ=＝．

小结：通过以上问题的解答，我们可以看出，平面图形的翻折过程其实就是一个旋转过程，解题时只要利用好前后两个面上那些不变的长度和角度，并从垂直于折线的平面着手，将一切变量与翻转角的平面角相联系，题目自会迎刃而解． 这正是：

瞻“前”顾“后”作“垂面” ，翻折问题有何难！