说说值域的求解方法

摘要：求函数的值域方法很多，但需要通过观察函数的形式来寻找合适的方法，因此对应函数形式选择恰当的方法则能很轻松求出函数值域.

关键词：值域；函数；方法

作者简介：周文国（1971-），男，江苏苏州市张家港人，本科，中学高级教师，苏州市名师，主要从事高中数学教学研究.

若集合A是函数y=f（x）的定义域，则对于集合A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，则我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域.求函数的值域的常见方法有以下几种：

一、观察法

对于一些简单的解析式或者是可以进行简单变形的解析式，则可利用熟知函数的值域求出其值域.

例1求下列函数的值域：（1）y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）y=x+1.

分析上述两个问题可直接通过观察法来求出其值域.

解（1）由于x∈（1，2，3，4，5），将x的取值代入函数解析式，则得到函数的值域为y∈（3，5，7，9，11）；

（2）由于x≥0，则x+1≥1，则得到函数的值域为{y|y≥1}.

点评一般在函数的形式比较直观的情况下，则往往可以通过观察法求出函数的值域.

二、换元法

对于形如y=ax+b+cx+d的函数，在求其值域时则常常用换元法，可令t=cx+d，再将原函数转化为关于t的二次函数，再运用简单的初等函数方法进行解答.

例2求函数y=x+2x-1的值域.

分析本题可用代换法将2x-1看作整体，并令u=2x-1，然后求出u的范围，将问题转化为u的二次函数.

解令u=2x-1，则u≥0，此时x=u2+12，

y=u2+12+u=12（u+1）2≥12.

函数的值域为12，+∞.

点评换元法适用于y=ax+b+cx+d的函数，在使用该方法时则要先观察函数的特点.

三、分离常数法

对于分式类型的函数，可采用的方法比较多，下面举例的是利用分离常数法来解决.分离常数就是把分子分母中都有的未知数变成只有分子或者只有分母的情况，由于分子分母中都有未知数与常数的和，所以一般来说我们分拆分子，这样把分子中的未知数变成分母的倍数，然后就只剩下常数除以一个含有未知数的式子.

例3求函y=3x+2x-1的值域.

分析本题是分式形式，且指数都为一次，则可以采用分离常数的办法来求解.

解y=3x+2x-1=3（x-1）+5x-1=3+5x-1≠3，

该函数的值域为{y|y≠3，y∈R}.

点评对于一次型的分式函数求其值域，采用分离常数法则能容易解决问题.

四、判别式法

对于形如y=ax2+bx+cdx2+cx+f以及y=ax+b±cx2+dx+e的函数可以化为关于x的二次方程，因为该方程有实数解，所以判别式大于或者等于零来求得函数的值域.

例4求函数y=12x2-3x+1的值域.

分析本题可将其转化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程有实数根时判别式Δ≥0则可得到关于y的不等式来解答.

解易得所给函数的定义域是x≠1且x≠12，把原函数变形得：2yx2-3yx+y-1=0，

（1）若y=0，易知无对应的x值；

（2）若y≠0，由于x是实数，故关于x的判别式：Δ=（3y）2-8y（y-1）≥0，解之得：y>0或y≤-8，故其值域为{y|y>0或y≤-8}.

点评对于含二次型的分式函数一般可转化为判断一元二次方程有解的问题则比较方便.

五、配方法

一般地说，对于二次函数型的解析式求值域基本方法是通过配方法.

例5求函数y=2x-5+15-4x的值域.

分析本题可先设t=15-4x，当然这里要注意t的范围为t≥0，再将问题转化为一元二次函数.

解令t=15-4x（t≥0），则t2=15-4x，得到x=14（15-t2），代入函数关系式同时化简得到y=-12t2+t+52（t≥0），可以得到y=-12（t-1）2+3（t≥0）.

当t=1时，ymin=3，所以函数的值域为{y|y≤3}.

点评配方法的使用范围是一元二次函数或者是可以转化为一元二次函数的问题，如y=ax+b+cx+d或y=ax2+bx+c（a≠0）的问题都可用该方法.

六、数形结合法

数形结合法是用几何图形的方法来表示题设条件函数关系式，再通过直观的图形来求解得到函数的值域.

例6已知函数y=x2-4x+6，求当x∈[1，5]时该函数的值域.

分析本题是给定区间上一元二次函数的值域问题，结合图像更能直观的求出该函数的值域.

解将函数y=x2-4x+6配方得到y=（x-2）2+2，再画出该函数在x∈[1，5]的图像，则由图1可以知道当x=2，函数ymin=2；当x=5时，函数ymax=11.

点评数形结合的作用是先关注函数的定义域，再从图中寻找出函数的值域，不容易出现错误.

上面对求函数值域（最大、最小值）的一些方法和技巧作了一些归纳和整理，当然随着后面相关知识的学习，求值域的方法还有更多，关键要能会探索规律，总结方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.