时间：2022-02-27 07:51:30
数学思想是数学的灵魂.在平时学习的过程中，数学思维的发散与收敛，知识的外延和内涵训练都是培养学生思维的好方法.根据数学知识的框架特征，建立知识之间的联系，往往可以使得解题方法新颖别致、独到创新.现以一些不等式的解法为例加以说明.
一、构造椭圆模型，巧解一类含绝对值的不等式
【例1】 解不等式：|x-2|+|x+2|≥5.
分析：该不等式是含两个绝对值符号的不等式，这类不等式可使用零点划分区间法、构造函数法、几何意义法等.那么根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点（-2，0）和（2，0）的距离之和大于等于5.这也恰好符合椭圆的定义，用椭圆的知识来解释该不等式就是代表椭圆及其椭圆外部的x的取值范围，利用椭圆的有界性便可轻松求解.
解：不等式|x-2|+|x+2|≥5的含义是数轴上的点x到两定点（-2，0）和（2，0）的距离之和大于等于5.
根据椭圆的定义可知c=2，a=52，
a2=254，b=94，
因此椭圆的方程为x2254+y294=1.
根据椭圆的有界性可得x≤-52或x≥52，
不等式的解集为{x|x≤-52或x≥52}.
二、构造双曲线模型，巧解一类含绝对值的不等式
【例2】 解不等式：|x-5|-|x+5|≤8.
分析：根据绝对值的定义可知，该不等式的含义是数轴上的点x到两定点（-5，0）和（5，0）的距离之差小于或等于8.这也恰好符合双曲线的定义，用双曲线的知识来解释该不等式就是代表双曲线右支的x的取值范围，利用双曲线的有界性便可求解.
解：不等式|x-5|-|x+5|≤8的含义是数轴上的点x到两定点（-5，0）和（5，0）的距离之差小于或等于8.
根据双曲线的定义可知c=5，a=4，b=3.
因此双曲线方程为x216-y29=1（x>0）.
由双曲线的有界性可得x≥4，
不等式的解集为{x|x≥4}.
三、构造抛物线模型，巧解一类无理不等式
【例3】 已知a∈R，求证：a4-3a2-6a+13-a4-a2+1≤10.
分析：该不等式含有两个根式，并且根号内表达式的次数高达4次，因此求解起来特别的困难.根据数学化繁为简的整体思想，将其配方降幂，其左端可变形为（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，此不等式的几何意义是抛物线y=x2上点P（a，a2）到点A（3，2）与到点B（0，1）距离之差的最大值是10.
解：根据不等式的结构，可以将其左端变形为
（a2-2）2+（a-3）2-（a2-1）2+（a-0）2，
此不等式的几何意义是抛物线上点P（a，a2）到点A（3，2）与到点B（0，1）距离之差的最大值是10.
A（3，2），B（0，1），
|AB|=10.
由图可知||PA|-|PB||≤|AB|=10，因此原不等式得以证明.
在学习数学的过程中，若能根据数学表达式的结构特征，挖掘其蕴含的内在意义，不但能优化解题过程，而且还可以大大提高思维能力.