“一线三等角”问题

所谓“一线三等角”是指三个角的顶点在同一条直线上，如图1，点C是AB上一点，若∠A=∠B=∠5，则∠1=∠2，∠3=∠4.

证明：因为∠ECA=∠5+∠1=∠2+∠B，又∠B=∠5，所以∠1=∠2，同理∠3=∠4.

也就是说只要有一线三等角的模型，一定存在其它两个角相等，从而找到解决问题的突破口，或用全等、或用相似，快速使问题得到解决，本文以2013年中考题为例加以研究.

图1图2例1（天津）如图2，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为.

解易知∠B=∠C=∠ADE，由模型知ABD∽DCE，所以AB1DC=BD1CE，即916=31CE，CE=2，故AE=7.

例2（广东）如图3，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C.

（1）设RtCBD的面积为S1，RtBFC的面积为S2，RtDCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“>”、“=”、“

（2）写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

解（1）填“=”；（2）BCD∽DEC，BCD∽CFB，DEC∽CFB.由条件知∠F=∠BCD=∠E，由模型知DEC∽CFB.

图3图4例3（福州）如图4，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，PAD的面积为112，设AB=x，AD=y.

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB·PC的值；

（3）若∠APD=90°，求y的最小值.

解（1）y=21x；（2）等腰梯形ABCD中，∠B=∠C=45°，当∠APD=45°时，由模型知ABP∽PCD，所以AB1PC=PB1CD，又AB=CD，所以PB·PC=AB2，当y=1时x=2，即AB=2，故PB·PC=（2）2=2.（3）略.

例4（扬州）如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PEPA交CD所在直线于E.设BP=x，CE=y.

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围.

（3）如图6，若m=4，将PEC沿PE翻折至PEG位置，∠BAG=90°，求BP长.

图5图6解（1）因为AB∥CD，∠B=90°，所以∠B=∠C=90°，因为PEPA，所以∠APE=90°，所以∠APE=∠B=∠C=90°，由模型知，所以ABP∽PCE，所以AB1PC=BP1CE，因为BC=m，BP=x，所以PC=m-x，所以21m-x=x1y，所以y=112x2+m12x，所以y关于x的函数关系式为y=112x2+m12x，x的取值范围为0

（2）因为y=112x2+m12x=112（x-m12）2+m218，所以当x=m12时，ymax=m218，所以点E总在线段CD上，所以m218≤1.所以m≤22，所以0

作者简介李品林，男，1956年12月生，湖北人，主要从事初中数学教学及解题研究，发表数学论文40多篇.