例谈“动态分析法”在二次函数中的应用

所谓“动态分析法”就是指将静态的问题放置到一系列的运动变换过程中去加以思考分析，这样处理，有利于从运动变化的角度对问题进行探究，进而可帮助我们做出准确、全面的分析。本文主要说明如何灵活运用“动态分析法”求解与参数有关的二次函数问题。现归类分析如下，供参考。

类型一、由含参二次函数在给定区间上的单调性，探求参数的取值范围

例1 已知二次函数y=kx2－4x+8在区间［－3,2］上是递减的，求实数k的取值范围。

解析：注意到含参二次函数图象的对称轴x=－－42k=2k具置不确定，且图象的开口方向也不确定，从而讨论如下：

当k>0时，二次函数图象开口向上，让对称轴由左向右运动变化，并结合函数在区间［－3,2］上的图象，易知应使2k≥2，又k>0，解之，得0

当k

综上可知，所求实数k的取值范围是［－23,0)∪(0,1］。

评注：（1）本题具有一定的综合性，首先要按二次项系数与零的关系分类讨论，然后在每一种情况下，才能灵活运用“动态分析法”加以讨论分析。注意：变化的对称轴与给定的区间共有三种位置关系：对称轴在区间的左边；对称轴在区间上；对称轴在区间的右边。

（2）类似分析，可得如下常用结论：

①设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），若f（x）在左区间上单调递减，则－b2a≥m；若f（x）在右区间上单调递增，则－b2a≤m。

②设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a

说明：其中左区间指（－

类型二、探求含参二次函数在给定区间上的最值

例2 已知二次函数f（x）=－x2+2（a+1）x+a2+4，试求f（x）在［0,2］上的最大值h（a）的解析式。

解析：注意到含参二次函数图象的对称轴x=－2（a+1）2・（－1）=a+1具置不确定，但区间［0,2］具置确定，从而可让对称轴由左向右运动变化加以讨论分析。

当a+1≤0，即a≤－1时，由f（x）在［0,2］上是减少的，易知h（a）=f（0）=a2+4。

当0

当a+1≥2，即a≥1时，由f（x）在［0,2］上是增加的，易知h（a）=f（2）=a2+4a+4。

故所求h（a）=a2+4,a≤－1,2a2+2a+5,－1

评注：本题求最大值时，是按对称轴与给定区间左、右端点的位置分类讨论的。请想一想：如果是求最小值，那么应如何讨论？（提示：按对称轴与给定区间的中点位置分类讨论）

类型三、探求给定二次函数在变区间上的最值

例3 已知二次函数f（x）=x2+2x+3，试求f（x）在［t,t+1］上的最小值g（t）的解析式。

解析：首先做出函数f（x）的图象（略），注意到图象的对称轴x=－1具置确定，但区间［t,t+1］具置不确定，从而可让变区间在x轴上由左向右运动变化加以讨论分析。

当t+1≤－1，即t≤－2时，由f（x）在区间［t,t+1］上是减少的，易知g（t）=f（t+1）=t2+4t+6；

当－1

当t≥－1时，由f（x）在区间［t,t+1］上是增加的，易知g（t）=f（t）=t2+2t+3。

故所求g（t）=t2+4t+6,t≤－2,2,－2

评注：本题求最小值时，是按变区间左、右端点与给定对称轴的位置分类讨论的。请想一想：如果是求最大值，那么应如何讨论？（提示：按变区间的中点位置与给定对称轴的位置分类讨论）

通过上述几例的解析可知：若将静态问题看作是某一系列运动变换过程中某一瞬间的相对状态，则往往有利于从整体上把握问题，认清实质，同时也为我们分析、研究问题开辟了一个崭新的思维角度――静态问题动态分析！

（作者单位：陕西省西安市临潼区纸李初级中学）