从结构特征谈基本不等式的运用

【前言】从结构特征谈基本不等式的运用由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。从内容上理解即探究“和a+b”与“积ab”之间的关系，而如何从具体背景的结构特征中探究两者的关系呢？在具体求解过程中又会因为忽视条件限制而出现哪些错误呢？在教材与历年来的高考试题中就蕴含着这样的线索和案例。笔者就这方面在教学实践中的一些心得同大家作一些...

近年来随着高考试题的创新，基本不等式考查的形式和内容上在不断变化，而这样的变化又以问题背景的呈现方式的不同来体现。但无论如何变化，都是在条件或结论的结构特征上做足了文章。

苏教版教材在《基本不等式的应用》中有这样的一段文字：

运用基本不等式 时，应注意：

（1）和为定值，则积ab有最大值；积ab为定值，则和a+b有最小值。

（2）取等号的条件（当且仅当a=b时， ）。

从内容上理解即探究“和a+b”与“积ab”之间的关系，而如何从具体背景的结构特征中探究两者的关系呢？在具体求解过程中又会因为忽视条件限制而出现哪些错误呢？在教材与历年来的高考试题中就蕴含着这样的线索和案例。笔者就这方面在教学实践中的一些心得同大家作一些交流，不当指出，敬请指教。

一、已知和（或积）为定值，求积（或和）的最值

此类最值问题具有非常明显的“和积关系”结构特征，相对思路比较清晰，也是基本不等式运用的基础结构。

例1：已知 求xy的最小值。

分析1：从结构看：是一个“和积”的形式，可以直接运用基本不等式得到关于xy的不等式，再通过求解不等式得到最值。从条件看：这里a是 ，b是 ，虽然目标是xy，但与ab非常接近。

解法1： ，√xy≥2√2xy≥8，

当且仅当且xy=8，即x=2，y=4时取等号。xy的最小值为8。

分析2：如果将条件分式化为整式，就可以得到关于“和积”共存的等式，进而运用基本不等式，构造关于xy不等式进行求解。

解法2：由得2x+y=xy，于是xy=2x+y≥2√2x・y，√xy≥2√2，xy≥8。

xy的最小值为8。

分析3：考虑到条件是 + （a+b）的形式，可以直接将目标xy化成 与 的积（ab）的形式。

当且仅当 时取等号。

综上，运用基本不等式研究相关“和积”结构的最值问题时的基本思路可以总结如下：

1）构造法：（运用基本不等式）解不等式问题；

2）配凑法：（通过配凑变形）直接使用基本不等式；（确定a是什么？b是什么？）；

3）消元法：（通过消元化简）形成一元函数最值问题（注意元的取值范围）。

二、已知和为定值，求和的最值

对于这种结构特征的最值问题如何化归为“和积关系”结构的问题，则成了解决问题的关键。

例2：已知 求x+y的最小值。

这道题从结构特征上看是 “和和关系”，这就需要将问题通过变形化归为一个崭新的“和积关系”问题。

分析1：通过乘“1”变换化归为具有“积和”结构特征的最值问题。

解法1： x+y

当且仅当时取等号，又所以当x=√2+1，y=2+√2时，x+y的最小值为3+2√2。

评注：事实上，通过变形将问题变成了“已知 ，求

的最小值”。

即：“和和”化归为“积和”。

分析2：将条件中的分式化为整式后，再变形为“积”， 从而形成具有“积和”结构特征的最值问题。

解法2：由 变形得（x-1）（y-2）=2，其中x＞1，y＞2。

于是x+y=（x-1）+（y-2）+3≥2√（x-1）（y-2）+3=3+2√2

当且仅当x-1=y-2，x+y=3+2√2，即x=√2+1，y=2+√2时，x+y的最小值为3+2√2。

解法3：利用消元法形成一元函数最值问题，通过配凑变形运用基本不等式求解。

由 得 ， 且x＞1， 所以

x+y 3+2√2

当且仅当 ，（x-1）2=2即x=√2+1，y=2+√2时，x+y的最小值为3+2√2。

三、已知积为定值，求积的最值

同样具有此种结构特征的最值问题又该如何化归为“和积”形式的基本结构的问题呢？

例3：已知（x-10）（y-16）=4840，且x＞10，y＞16，求S=xy的最小值。

分析：从问题的结构特点上看是（“积”“积”）的形式。

解法1：（消元法）

于是S=xy （形成“和”式）

=6760

当且仅当 ，即x-10=55，x=65时，Smin=6760

解法2：（配凑法）

S=xy=[（x-10）+10]・[（y-16）+16]=5000+16（x-10）+10（y-16）（形成了“和”式）

≥5000+2√160（x-10）（y-16）=6760

即16（x-10）=10（y-16）=880，x=65，y=104时，Smin=6760

解法3：（构造法）

4840=（x-10）（y-16）=xy-16x-10y+160≤xy-2√160xy+160

整理得：xy-8√10・√xy-4680≥0，

即（√xy-26√10）（√xy+18√10）≥0，解得：√xy≥26√10，

xy≥6760

即16x=10y且xy=6760，x=65，y=104时，（xy）min=6760

四、隐含

很多最值问题并不明显具有前面所谈的结构特征，那么只有充分挖掘隐含的结构特征，才能顺利地运用基本不等式求解。

在基本不等式的应用中，经常需要我们遵循化难为易、化繁为简、化未知为已知的原则，从结构特征入手化归为基本类型，才能有效地进行相关最值问题的求解。当然，在此类最值问题的求解中，如果可以用消元法构造成一元函数，那么利用如导数等方法去处理，也是一个很不错的思路。

五、常见错误

不同结构特征的条件最值问题完全可以通过常用方法化归为“和积”的基本结构形式，进而运用基本不等式求解。但学生又经常会在具体解题过程中出现一些如忽视各项为正的条件，忽视积（或和）为定值的条件，忽视等式成立的条件等常见错误，其原因主要还是体现在基本不等式使用的要点：“一正，二定，三相等”，所以采用一些策略：“一正”不满足则调整符号；“二定”不满足则配凑变形；“三相等”不满足则利用函数单调性。

总之，教材和高考对基本不等式应用作为重点考查是从不间断、常考常新的。这就要求教师在运用基本不等式求函数最值的复习研究过程中，不断指导学生进行多角度地思考、比较、归纳、总结。首先要帮助学生深刻理解基本不等式的内在实质，搞清条件、公式、结论之间的辩证关系，紧扣要点：“一正，二定，三相等”分析问题，寻求对策；其次要帮助学生加强从问题中式子的结构特征入手，通过常见的方法将多种结构形式化归为 “和积”关系的基础类型，进而探寻问题解决的基本方法和策略，尤其要注重基本方法的理解、优化和掌握，从而提高学生化归的能力和分析问题解决问题的能力，以适应不断改革、不断发展中的课程改革和高考改革的要求。