基于Choquet积分形式的模糊联盟核心

摘要：在具有联盟结构的合作对策中，针对局中人以某种程度参与到合作中的情况，研究了模糊联盟结构的合作对策的收益分配问题。首先，定义了具有模糊联盟结构的合作对策及相关概念。其次，定义了Choquet积分形式的模糊联盟核心，提出了该核心与联盟核心之间的关系，对于强凸联盟对策，证明Choquet积分形式的模糊Owen值属于其所对应的模糊联盟核心。最后通过算例，对该分配模型的可行性进行分析。

关键词：对策论；模糊联盟对策；模糊联盟核心；联盟结构

中图分类号：0225

文章标识码：A

文章编号：1007-3221（2015）01-0093-07

引言

在对策论的研究中，具有联盟结构的合作对策问题是一类较为复杂的对策论研究方向，经典的合作对策是该类对策的特殊形式，这一类对策的特点往往是参与对策的局中人首先形成一些小的中间联盟，由这些中间联盟形成全体局中人的一个划分（剖面），各联盟之间相互作用相互影响，构成了具有联盟结构的对策问题。联盟结构是指参与对策的全体局中人的一个划分，其中的元素称为优先联盟。基于联盟结构合作对策的收益分配问题，一般基于两个层面来进行讨论，一是在各优先联盟之间的收益分配，二是在各优先联盟内部局中人之间的收益分配。该类对策收益分配问题的研究主要集中于Owen值、联盟核心和联盟韦伯集。从Owen值研究的发展情况看，一般都是根据具体的应用环境，提出新的公理化Owen值的方法，或将Owen值进行改进，以适应新的应用环境。联盟核心是由Pulido和Sdnchez-Soriano提出，联盟核心和经典合作对策中的核心一样，具有多面体代数结构。

在具有联盟结构的合作对策中，一般假设每个局中人和优先联盟参加某个联盟时只有两种情况：（1）完全参与到某个联盟中；（2）不参与任何联盟。然而在现实生活中，更多的情况是局中人分别以不同的参与率或参与程度参加某个联盟。比如：在考虑生产中的对策时，企业以一定的参与率参加某个联盟指各企业在合作中只提供部分资源，而完全参加某个联盟则指提供其所有的资源。因此，对于此类的问题，可以利用模糊联盟来考虑具有联盟结构的合作对策问题，将这类对策称为具有模糊联盟结构的合作对策。文献中研究了该类对策的解，即：通过模糊Owen值对收益进行分配，本文继续研究该类对策的收益分配问题，将基于choquet积分形式的模糊联盟核心给出新的分配方案。

1 预备知识

1.1 具有联盟结构的合作对策

设局中人集合N={1，2，…，n}，N的全部子集所组成的集合记为中的任一元素都表示一个联盟。合作对策一般定义为二元组（N，v，其中N为局中人集合，特征函数满足v（φ）=0。

定义1.1 如果（N，v满足v（suT）≥V（s）+V（T），V（T），则称（N，v）是超可加合作对策。将超可加合作对策的全体记为。

N的划分称为关于N的联盟结构，Bi称为优先联盟，M={1，2，…，m}表示优先联盟的下标集合，该集合中元素的个数是指联盟结构中的优先联盟的个数。优先联盟的全体记为。三元组称为具有联盟结构的合作对策。N上所有具有联盟结构的合作对策的全体记为。

定义1.2 令，任意，有SUT，。如果v（S）+v（T），那么（N，v，）被称为强凸联盟对策。

定义1.3 设为基于Ⅳ的联盟结构，M={l，2，…，m}为优先联盟下标的集合。如果任意其中对某个，则称R为一联盟，N中所有联盟的全体记为。

定义1.4 任意（N，V，），联盟核心定义为

1.2 具有联盟结构的模糊合作对策

关于N的模糊联盟是定义在[0，1]N上的n维变量s=（s1，s2，…，sn），其中第i个坐标si是[0，1]上的常数，表示局中人i的参与率.关于Ⅳ的模糊联盟的全体记为。

在模糊集中，空联盟记为，对任意表示一个类经典联盟，对应着这样一种情况：S中的局中人以参与率1进行合作，而联盟s之外的局中人与S中的局中人没有合作，即：他们的参与率均为0.es=（1，1，…，1）被称为最大联盟，为简单起见，文中用代替。集合关于s的模糊联盟记为s，简记为，称t为对应于集合T的模糊联盟。

具有模糊联盟的合作对策定义为二元组（N，v），满足v（φ）=0，其中Ⅳ={1，2，…，n}表示全体局中人集合，v（s）表示模糊联盟s的期望收益。

定义1.5 任意s，t，如果模糊合作对策（N，v）满足则（N，v）被称为超可加的模糊合作对策，将超可加的模糊合作对策的全体记为。

定义1.6 任意（N，v）是经典的合作对策。任意s（i）>0，q（s）为Q（s）中元素的个数，将Q（s）中的元素按照非减序列排列为h1≤h2≤…≤hq（s），如果v满足如下条件则称模糊对策（N，v）具有Choquet积分形式，并称（N，v）是对应于模糊合作对策（N，v）的经典合作对策。具有Choquet积分形式的模糊对策的全体记为。

三元组称为具有模糊联盟结构的合作对策。Ⅳ上所有具有模糊联盟结构的合作对策的全体记为

为讨论方便，任意，M中与之对应的模糊联盟记为表示中的类经典联盟。

定义1.7 任意且。模糊商对策定义如下当.努中的优先联盟被看成是一个个体时，模糊商对策卵可以看成是由FCG上的模糊对策v诱导出来的，它描述了优先联盟之间的一种谈判情况。

在联盟核心中，优先联盟之间的效用是可以转移的，但是考虑优先联盟内部的局中人和外部联盟合作的时候仅仅考虑联盟，因此假设时，如果，则v（S）=0。也就是说，我们仅仅考虑中的联盟，而忽略之外的联盟。

如果对应的模糊商对策则用来表示该类对策。任意可以表示成如下形式

2 基于Choquet积分形式的模糊联盟核心

定义2.1 设

虽然定义2.1给出了联盟核心的概念，但是一般来说，很难得到的具体形式。然而Pulido和Sdnchez-Soriano已经给出了联盟核心的表示形式，由于关于对策的联盟核心比较容易得到，这就促使我们去寻找模糊联盟核心和联盟核心之间的关心。下面，我们考虑对策的具有Choquet积分形式的模糊商对策来给出模糊联盟核心的具体表示形式。

为讨论方便，任意，对应的模糊联盟，任意，记下面举例说明符号的含义。

例2.1 设Ⅳ={l，2，3，4，5}，β={{1，2}，{3，4，5}}，设S={1，2，3，4}∈Ωβ，s=（0.6，0.7，0.8，0.9，O）∈，设m5={o-66，o.85}，则supp（ms）={a，6}.如果T=（b），那么

由的含义知，如果对应的模糊联盟，那么任意

定理2.1 设是对应于的清晰对策，中的元素按由小到大的顺序写成r1

下面将要证明

任意

因此任意

下面，我们分析对策

定理2.2设

证明 由模糊Owen值的性质可知，有联盟结构的合作对策。由模糊Owen值的性质可知

3 算例分析

本节用算例说明如何用Choquet积分形式的模糊联盟核心进行收益分配并验证公式（2）。

例4.1 考虑一个合作生产模型。假设有三个投资者（局中人集合N=（1，2，3》欲利用三种原料Ri（i=1，2，3）进行合作生产七种产品：P1、P2、P3、P12、P13、P23和P123。假设投资者投入100单位的Ri可以生产ni单位的Pi（i=1，2，3），100单位的Ri和100单位的Rj可以生产nu单位的P，j（i，j=l，2，3），100单位的R1、100单位的R2和100单位的R3可以生产n123，单位的P123。已知三位投资者在完全贡献出自己的资源的情况下的合作收益为：v（{1}）=100，v（{2}）=60，v（|3|） =70，v（{1，2}）=200，v（{l，3}）=200，v（{2，3}）=300，v（{1，2，3}）=600。

由于在现实生活中，每个投资者会考虑他在合作中应该提供多少资源，一般来说，每个投资者一般不会拿出他全部的资源来投资，这取决于很多因素，比如：个人偏好、风险态度等。假定投资者1在合作的过程中可以提供80个单位的资源R1，投资者2在合作的过程中可以提供60个单位的资源R2，投资者3在合作的过程中可以提供90个单位的资源R3，此时，三位投资者如何分配总收益呢？

因为投资者1一共有100个单位的资源R1，我们认为投资者1在合作中的参与程度为，同理，投资者2和3的参与程度分别为0.6和0.9，这样就形成一个模糊联盟s，即：s=（0.8，（0.6，0.9））。在这个模型中，投资者2和3先合作，然后他们再和投资1合作，若设M={a，6}，则优先联盟a和b一块合作。因为投资者没有完全参与到合作中，从而优先联盟也具有一定的参与率，他们的参与率依赖于局中人的参与率。我们假定投资者2和3对优先联盟6起影响力与他们投入的资源成正比，那么优先联盟a和b的参与率分别为0.8和0.6×0.4 +0.9x0.6=0.78，即：ms=（0.8，0.78）。下面用模糊核心的方法在三位投资者之间进行收益分配。

利用的模糊Owen值计算可得=（158，154. 05，157. 95），所以，（s），因此，综合模糊Owen值和模糊联盟核心可知：如果三位投资者合作时的对策具有Choquet积分形式，那么预期的总利润为470万元，其中投资者1、2和3的报酬分别为158万元、154.05万元和157.95万元。

下面验证公式（2），利用公式（1）计算的模糊联盟核心.因为0.35}，q（ms）=2，将Q（ms）中的元素按由小到大的顺序写成r1

4 结论

在现实生活中，由于各企业的激励机制、个人技术水平、行为特征等因素的差异，局中人只以一定的参与程度参与到合作中，局中人的参与度直接影响到企业的参与度，因此各企业之间是以一定的参与度进行合作的，各企业合作之后的收益分配方案可以看作具有模糊联盟结构的合作对策的解。基于核心和联盟核心的思想，本文讨论了该类合作对策的解，即：模糊联盟核心，该解是文献中联盟核心的推广，对于具有Choquet积分形式的模糊联盟核心，研究了其与联盟核心的关系。