山重水复疑无路模型指引把路找

几何问题变化多端，往往使人困惑难解。这时需要寻找一个“支点”，运用平面几何的相关知识作为推理过渡的“桥梁”。通过适当的推理，从已知条件顺利过渡到待求结果。对于一般的平面几何问题从已知或待求的有关点、线、图的某些特殊关系出发，只要找到或构造出相应的基本模型，问题都能顺利得到解决。下面以中点模型以及角平分线模型为例来理解上诉所说内容。

例1， 如图，AD为ABC的中线，BE交AC于E，

交AD于F 且AE=EF.求证AC=BF

分析：拿到这道题后，条件简单，由AD为ABC的中线，可以得到BD=CD,由AE=EF可以推得∠EAF=∠EFA=∠BFD,再往前走就发现比较困难，条件分散，不能集中到一起；从图中显然看出：要证的结论AC、EF两条线段也不在一对能够全等的三角形中。这时觉得有劲使不上，心有余而力不足，往往使人觉得困惑难解。这时就需要我们寻找一个“支点”。已知当中有一个特殊的点――中点D，我们可以选取BD或CD所在的任意一个三角形为基础，构造出以点D为对称中心的一对中心对称图形。

证明：延长AD到H，使DH＝AD，连结BH，

AD是ABC的中线

BD＝DC

又∠BDH＝∠CDA，DH＝AD

BDH≌CDA

BH＝CA，∠H＝∠DAC

AE＝EF

∠AFE＝∠BFD

又AFE＝∠BFD

∠H＝∠BFD

BH＝BF

BF＝AC

小结：题中涉及单个中点，当遇到困难打不开思路时，可以选择中点作为“支点”，利用中点的中心对称性构造全等三角形来解答。

例2，如图，ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD．

分析：这一题同上一题一样，条件简单，很多同学面对本题一筹莫展。仔细观察可以选取角平分线AD作为“支点”，以∠1或∠2所在的三角形为基础，利用角平分线的对称性来构造全等三角形。在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，AED≌ACD，得DE＝DC，只要证DE＝BE问题便可以解决．

证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE

AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD

AED≌ACD

DE＝DC，∠AED＝∠C

∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B

2∠B＝∠B＋∠EDB

即∠B＝∠EDB

EB＝ED，即ED

AB＝AC＋DC

小结：当题中涉及角平分线时，可选择角平分线作为“支点” ，利用角平分线的轴对称性构造全等三角形作为过渡。

在几何问题中的大部分问题都需要同时寻找或构造几个相同或不同的基本模型，把他们放在推理过程的适当位置，通过他们的特殊性质与已知条件的逻辑传递才能求解。应用模型的思维方式我们可以把众多的平面几何问题按寻找到的不同“支点”得到的基本模型进行归类，这样可以取得化多为少，思路清晰自然的效果。问题的已知条件或待证结论中给出的某些点、线、图所具有的特殊关系，是我们构造基本几何模型的基础。模型思维方法在这里有“章”可循。在有些问题中，从不同的条件或结论入手，从不同的特殊点、线、图出发，可以构造同一种基本几何模型求解而且都是可行的，也可以构造不同的基本模型推理。其中有可能遇到某些找到或构造的基本模型不恰当、不可行的情形，我们必须及时舍弃。