双曲线的定义范文

双曲线的定义篇1

重点：双曲线的第一、第二定义， 双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，轨迹问题等.

难点：a，b，c，e等参数值的求法及其取值范围问题的探讨，直线与双曲线位置关系相关的综合问题.

（1）研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，首先应考虑用定义来解题. 关注定义中的“绝对值”，若定义中去掉了“绝对值”，则点的轨迹是双曲线的一支，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的.

（2）研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还会经常用到正、余弦定理.

（3）求双曲线的标准方程．

①定义法：分析题目条件是否满足定义；求出a，b，c；写出方程．

②待定系数法：确定焦点的位置；设出待求方程；确定相关系数；写出方程．

（4）双曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如：双曲线■－■=1中，x≥a或x≤－a，e>1等. 在求与双曲线有关的一些量的范围或与这些量有关的最值时会经常用到这些不等关系.解决双曲线中有关变量的最值与取值范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法． 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．

（5）直线与双曲线. 直线与双曲线位置关系的判断：直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0？圳直线与双曲线相交于两个点；Δ=0？圳直线与双曲线相交于一个点；Δ

（6）直线与双曲线相交时常见问题的处理方法：①涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长. 直线l被双曲线截得的弦长AB=■或AB=■，其中k是直线l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直线与双曲线的两个交点A，B的坐标，且（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2，x1+x2，x1x2可由韦达定理整体给出． ②涉及求平行弦中点的轨迹，求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题时，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，－1），求实数m的取值范围．

思索 ①涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的问题，Δ>0是必不可少的条件． ②关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑Δ>0，还要考虑方程根的取值范围.

建议同学们在复习本节内容时重视以下几个方面：

（1）重视定义在解题中的作用，对于双曲线的两种定义，要在训练的过程中加强理解和掌握.

（2）重视平面几何知识在解题中的作用，解题过程中应借助图形分析条件，寻求最优解法.

（3）重视设而不求的整体化处理思想的应用，遇到有关直线与双曲线交点及相关问题时，若解方程组求交点，往往运算量大，易出差错，设而不求利用根与系数的关系便可简捷求解.

双曲线的定义篇2

关键词:离心率 等量关系 焦三角形 曲线定义

圆锥曲线的离心率刻画了曲线的曲率变化情况,是圆锥曲线的重要性质之一,通过对离心率的计算,进而可以把握曲线的形状。高考中经常出现求解圆锥曲线离心率问题,尤其没有给出具体曲线方程,只给出已知曲线的几何特征以及位置关系,求其离心率问题,既是高考的热点,又是高考的难点。而解决此类问题的关键在于根据题目条件,确定a,b,c,e的等量关系。下面我就结合实例谈谈对这一问题的处理方法。

问题1:已知双曲线■-■=1(a>0,b>0)的左右焦点是F1,F2,设p是双曲线右支上一点,■在■上的投影的大小恰好为■,且它们的夹角为■,求双曲线的离心率。

分析:题目给出了边PF1,PF2,F1F2的关系,三边构成了焦三角形,存在着很好的等量关系。它成为应用双曲线定义以及应用勾股定理、正余弦定理解三角形的重要载体,起着很好的桥梁作用。

解析:由题意得,焦三角形PF1F2为直角三角形,由■=2c,∠PF1F2=■得PF■=c,PF■=■c。由双曲线定义PF■-PF2=2a得,■c-c=2a,化简整理的。e=■+1

另解:由PF2=c及双曲线定义PF1-PF2=2a得PF1=2a+c,又RtPF1F2中PF12+PF22=F1F22,即(2a+c)2+c2=(2c)2整理得c2-2ac-2a2=0,关于a,c的齐次式,两边同除以a2,得e2-2e-2=0,又由e>1,解得e=■+1。

问题2:过双曲线■-■=1(a>0,b>0)的左焦点是F1(-c,0),c>0作圆x2+y2=■的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P。若O■=■(O■+O■),求双曲线的离心率。

分析:通过作图构建焦三角形,涉及切线,由切线定理得到垂直关系,又由O■=■(O■+O■)转化为E为PF的中点的位置关系,连接PF′,O、E为焦三角形两边中点,再由中位线定理得边的关系,进而确定等量关系。

解析:连接PF′,由O■=■(O■+O■)知E为PF的中点,又PF为圆x2+y2=■的切线, E为切点OEPF,在焦三角形PFF′中OE为中位线,故PFPF′, 所以,在焦三角形PFF′为直角三角形。由OE=■,得PF′=a,再由双曲线定义得PF=PF′+2a=a+2a=3a,在RtPFF′中PF2+PF′2=FF′2即(3a)2+a2=(2c)2,即10a2=4c2,亦即e2=■,又由e>1,解得e=■。

另解:前面同上,由OE=■,得PF′=a,

又由FF′=2c及PF2+PF′2=FF′2得PF′=■,再由定义PF-PF′=2a得■-a=2a,化简整理得10a2=4c2,亦即e2=■,又由e>1,解得e=■。

问题3:已知抛物线y2=2px,(p>0)的焦点F为■-■=1(a>0,b>0)的一个焦点,经过两曲线焦点的直线恰好过F,求该双曲线的离心率。

分析:结合图形,连接AF1,AF2,同样构建焦三角形AF1F2,挖掘题目隐含条件,过两曲线焦点的直线恰为通径,结合抛物线的性质容易得出AF2=F2F2,从而确定了焦三角形的形状,再结合定义,建立等量关系就非常容易了。

解析:设两曲线交点为AB,连接AF1,AF2,由题设可知AF1,AF2,AF2=F1F2,故焦三角形AF1F2,为等腰直角三角形,由F1F2=2c,得AF2=2c,AF1=2■。由双曲线定义AF1-AF2=2a得,2■-2c=2a,化简整理的e=■+1。

另解:由AF2=2c及双曲线定义AF1-AF2=2a得PF1=2a+2c,又RtPF1F2中PF12+PF22=F1F22,即(2a+2c)2+(2c)2=(2c)2整理得c2-2ac-a2=0,关于a,c的齐次式,两边同除以a2,得e2-2e-1=0,又由e>1,解得e=■+1。

评注:每题都用两种方法求解,旨在让学生体会数形结合的思想方法,以及各种方法的区别和联系,两种方法相通,都是利用边的关系得到了等量关系。前一种解法先通过解三角形把三边表示出来,再利用双曲线定义建立了等量关系。后一种解法为先利用双曲线定义把三边表示出来,再通过勾股定理建立了等量关系。

通过上述分析,我们在解决已知曲线的几何特征以及位置关系,求其离心率问题时,只要根据题目条件构建焦三角形,紧紧抓住(焦)三角形不放,寻求等量关系。无论是先利用勾股定理、正余弦定理等求出边的关系,再用定义找到了等量关系,还是先利用定义求出边的关系,再用勾股定理、正余弦定理等找到了等量关系,最终都能得解,有异曲同工之妙。

双曲线的定义篇3

主讲：王晓斌

地点：学校新篮球场

时间：2012年12月6下午第一节课

学习目标：

1.知识目标

（1）掌握双曲线的定义。

（2）体会双曲线的标准方程求解过程中所蕴含的数学思想。

（3）掌握双曲线的标准方程。

（4）理解数形结合的数学思想，体会运动变化的观点。

2.能力目标

（1）培养学生的合作探究能力、发现问题的能力及大胆提出问题的良好习惯。

（2）训练和培养学生分析、解决数学问题的能力。

（3）掌握探究数学问题的一般方法。

3.情感目标

（1）通过双曲线的形成过程培养学生的数学美感。

（2）培养学生的团结协作精神。

学习重点：

1.双曲线的定义

2.双曲线标准方程的探究过程

学习难点：

1.坐标系的建立及几何特征的描述

2.标准方程的推导过程

学习方法：

1.动手探究法

2.小组讨论法

3.发现总结法

课前预习：

问题1.我们已经学习了椭圆及其标准方程，回忆我们是如何推导其方程的？

①画图；②建系；③取代表；④条件几何化；⑤进一步代数化。

问题2.你能举出与双曲线有关的例子吗？

教学过程：

一、观察分析

问题3.用一平面截两个圆锥会得到什么样的曲线？

出示道具，观察得出双曲线。

问题4.椭圆的定义是什么？

平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数（大于|F1F2|）的轨迹叫做椭圆。

问题5.如果把椭圆定义中“距离的和”改成“距离的差”，那么动点的轨迹会发生怎样的变化？

变成双曲线。

二、动手探究

1.分组探究画双曲线的过程

人员：全班分成8个小组，各小组由小组长负责。

道具：一根绳子，一个竹筒，两个固定物，粉笔。

2.双曲线的定义（用语言描述）

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。

问题6.竹筒的距离差与两定点之间有什么关系？

三、推导双曲线的标准方程

1.建系

使x轴经过两焦点F1、F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线。

2.取代表

设M（x，y）是双曲线上任一点，焦距为2c（c>0），那么焦点F1（-c，0），F2（c，0）

3.条件几何化

MF1-MF2=2a

四、小组展示，学习交流

在展示过程中，其他同学可以发问，可以补充纠正，充分展示每个同学的才能，最后教师根据情况点评、及时表扬，充分发挥激励作用，调动学生学习的积极性和趣味性。

五、问题思考

问题7.这里的“标准”指的是什么？

以双曲线的两对称轴为坐标轴，以中心为坐标原点。

问题8.标准方程有几种形式？怎样才能确定焦点在哪条轴上？

问题9.双曲线形状和大小与哪些量有关？

与a，b，c有关，特别是用“e”来刻画。

问题10.双曲线的方程中，a，b，c三者之间是什么关系？哪一个最大？它们表示什么？在图形中能指出来吗？

c2=a2+b2（满足勾股定理） c最大

六、布置作业

1.完成今天的学案

2.推导完成另一种双曲线的标准方程

类比焦点在y轴上的椭圆标准方程，如图3，双曲线的焦点分别是F1（0，-c），F2（0，c），a，b的意义同上，这时双曲线的标准方程是什么？

双曲线的定义篇4

(2009全国Ⅱ第11题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A、B两点,若AF=4FB,则C的离心率为()

A. 65

B. 75

C. 58

D. 95

解法一:(利用双曲线第一定义)(如图一)

由AF=4FB知直线与双曲线C的右支交于A、B两点,从已知得点A在x轴的上方,设左焦点为N,可设FB=x(x>0),则有BN=2a+x,AF=4x,AN=2a+4x,又∠AFx=60°,利用余弦定理得,在ANF中有

AN2=AF2+NF2-2AF•NFcos120°

在ANF中有

BN2=BF2+NF2-2BF•NFcos60°

即有(2a+4x)2=(2c)2+(4x)2-2•2c•4xcos120°……(1)(2a+x)2=(2c)2+x2-2•2c•xcos60°……………(2)

a2+4ax=c2+2cx……(3)2a2+2ax=2c2-cx……(4),由(3)×2-(4)得6ax=5cx(x>0),e=ca=65

评注:在圆锥曲线问题中,常用余弦定理解决有关焦点三角形问题。

解法二:(利用双曲线第二定义与几何性质)(如图二)

由AF=4FB,知点F在线段AB上,如图,过A作准线l的垂线AA′,过B作准线l的垂线BB′,则AA′=AFe,BB′=BFe,过B作BHAA′,

则AH=AA′-BB′=1e(AF-BF)=3BFe,又∠FBH=30°,AH=52BF,

3BFe=52BF,e=65

解法三:(利用双曲线第二定义与定比分点)(如图三)

由法一知直线与双曲线C的右支交于两点,A在x轴的上方,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(c,0)

则|AF|=ca(x1-a2c)

|BF|=ca(x2-a2c)

|AF|=4|BF|

解得x1=4x2-3a2c……(1)

AF=4FB由定比分点得c=x1+4x21+4,

x1=-4x2+5c……(2)

由(1)、(2)得x1=5c2-3a22c,点A(x1,y1)在直线y=3(x-c)上

y1=3(3c2-3a22c),又点A(x1,y1)在双曲线x2a2-y2b2=1上。

则(5c2-3a22c)2a2-[3(3c2-3a22c)]2b2=1,解得25c4-61a2c2+36a2=0

25e4-61e2+36=0得e=65

解法四:(利用双曲线的几何性质)(如图三)

过点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为D、H,设|FB|=m(m>0),又∠AFx=60°,则A(c+2m,23m),B(c-12m,-32m),点A、B在双曲线x2a2-y2b2=1上,则有

(c-12m)2a2-(32m)2b2=1……(1)

(c+2m)2a2-(23m)2b2=1……(2)

由(1)×16-(2)得m=3b24c代入(2)得25c4-61a2c2+36a4=0,25e4-61e2+36=0,解得e=65

评注:利用双曲线的几何性质,求出双曲线上两点的坐标,代入双曲线得出关于a,c的方程即可。

图一

图二

图三

双曲线的定义篇5

【关键词】双粘性；菲利普斯曲线；研究状况

1.研究意义

货币政策是经济运作的中心，直接关系到一国经济的运行和发展，因此，最优货币政策问题一直是理论界关注和争论的焦点之一。货币政策的制定需要一定的理论指导，由于分析失业率和通货膨胀率的关系是菲利普斯曲线的重点，而当前我国就业和通货膨胀的难题亟待解决，因此，通过对菲利普斯曲线进行研究，以此作为理论指导来提出最优货币政策，具有非常重要的实践意义。

货币当局为判断宏观经济状况、维持价格稳定以及“合理的”产出增长，须面对如何测量核心通胀以及潜在产出问题。因此目标通货膨胀率和产出缺口是货币政策规则的两个核心问题。同时也是菲利普斯曲线模型中的两个重要指标。这就使研究菲利普斯曲线与研究最优货币政策之间有了理论联系。

李斌、刘凤良（2007）借助对粘性信息下的菲利普斯曲线进行了推导，并利用中国数据对该理论的适用性进行了检验，结果表明该模型与中国数据比较吻合。新凯恩斯主义菲利普斯曲线只是在传统菲利普斯曲线中引入了垄断竞争、粘性价格以及理性预期等思想，而并没有引入粘性信息。因此粘性信息下的菲利普斯曲线作为政策制定的理论指导比传统的或者新凯恩斯主义菲利普斯曲线更为合理。

粘性信息理论是近十年来新兴的不完全信息理论之一。从曼昆和瑞斯（2002）首先提出了粘性信息菲利普斯曲线以来，国外学者对此理论不断进行了发展研究，经检验发现粘性信息下的菲利普斯曲线与经济数据比较吻合，优于传统的菲利普斯曲线。Tomiyuki（2008）提出了双粘菲利普斯曲线，是既具有粘性价格又具有粘性信息的双粘性经济模型，认为双粘性模型比单纯的粘性价格和纯粘性信息模型更好地解释价格水平、产出等指标的粘滞现象。此理论目前还未用于研究中国经济。

本论文将通过构建中国双粘菲利普斯曲线模型，研究中国产出缺口与目标通货膨胀率，并研究中国的通货膨胀与失业的关系。通过简单工具规则（泰勒规则）和目标规则，利用之前研究的产出，目标通货膨胀率情况，分析中国最优货币政策。

2.研究方案及其实施

2.1 研究方案

2.1.1 推导双粘菲利普斯曲线理论模型并检测模型的适用性

模型中目标通胀率和产出缺口作为不可观测成分，具有十分重要的作用，因此，本文运用双变量非观测成分模型——状态空间模型，估计中国的目标通胀率和产出缺口，通过卡尔曼滤波平滑推断程序，将季度通胀和产出分解为趋势成分和平稳周期成分。

2.1.2 中国双粘菲利普斯曲线的实证检验

运用广义矩估计法（GMM）对模型进行估计，观察通货膨胀率与目标通胀率、产出缺口有关以及前一期通货膨胀是否有关。检验双粘菲利普斯曲线模型在中国是否适用。

2.1.3 在中国双粘菲利普斯曲线的背景下，进行最优货币政策研究

通过目标通货膨胀率和产出缺口的特点，分析如何影响货币政策的效果，讨论最优货币政策应当如何制定。本文也拟对双粘菲利普斯曲线模型进行改进，通过附加利率，来研究最优货币政策制定。提出货币政策建议。

2.1.4 需解决的关键问题

中国双粘菲利普斯曲线模型的推导；检验中国双粘菲利普斯曲线模型的适用性；对模型中目标通货膨胀率和产出缺口进行估计；推导出的菲利普斯曲线如何反映了中国目前存在的经济问题；目标通货膨胀和产出缺口如何影响货币政策的制定；附加利率的双粘菲利普斯曲线。

2.2 研究方法

2.2.1 理论分析、实证分析和规范分析相结合

理论分析通过相关的经济理论构建经济模型，为经济现象提供理论基础；实证分析借助经济数据的处理对经济现象做出解释；规范分析则研究应该如何做出经济决策。本文将在相关理论的基础上，采用科布——道格拉斯生产函数推导出双粘菲利普斯曲线，使实证研究具有理论根基。然后采用中国数据对理论模型进行实证分析，估算出建议。

2.2.2 定性分析与定量分析相结合

定性分析主要是对经济现象的性质、特点等做出经验性的判断，定量分析是定性分析的具体化，使分析更加科学、准确。两者是相辅相成的，将两者结合起来可以更好地揭示我国菲利普斯曲线的本质和特征。

2.3 可行性分析

中国的双粘菲利普斯曲线。运用双变量非观测成分模型——状态空间模型，估计中国的目标通胀率和产出缺口，通过卡尔曼滤波平滑推断程序，将季度通胀和产出分解为趋势成分和平稳周期成分。由此得到双粘性菲利普斯曲线模型下中国经济的实际情况。运用广义矩估计法（GMM）对模型进行估计，观察通货膨胀率与目标通胀率、产出缺口有关以及前一期通货膨胀是否有关。检验推导出来的双粘菲利普斯曲线模型在中国是否适用。然后进一步分析了中国双粘菲利普斯曲线下的货币政策的影响及内在的货币政策含义，并提出相关的政策。

粘性价格模型发展已经较为成熟，粘性价格考虑到菲利普斯曲线中的新凯恩斯主义菲利普斯曲线也已经得到了一定的发展，粘性信息模型在国外近10年来也得到了一定的发展和完善，有理论和观点的可借鉴性。粘性信息模型以信息在经济主体间的缓慢传播为基础假设，分析价格的动态调整，与传统的粘性价格模型相比，粘性信息模型对货币政策的描述更为准确，可以准确地说明货币政策对通货膨胀作用的延迟。双粘菲利普斯曲线模型是将粘性信息引入到粘性价格菲利普斯曲线模型中可以得到更符合现实情况的菲利普斯曲线模型，因此使用双粘菲利普斯曲线模型研究货币政策在理论上逻辑是严密的，合理的。

可以通过国内各项数据网站，中国国家统计年鉴获得年度季度数据，完成广义估计法（GMM），Kalman滤波。

3.研究成果

3.1 目前国内的研究状况

由于粘性信息模型是近十年来学术界的一个新领域，国内关于粘性信息模型和粘性信息菲利普斯曲线的关注大部分都是对该理论的介绍和综述（王军2009）（彭兴韵2011），实证文章比较少，如：孟令玺（2009首都经济贸易大学）研究了中国的粘性菲利普斯曲线，对中国粘性菲利普斯曲线模型进行了推导。国内已有许多学者运用新凯恩斯主义菲利普斯曲线来研究中国的货币政策和经济问题，如：高虹（2007东北财经大学）评述了新凯恩斯主义的最优货币政策；姜梅华（2008吉林大学）研究了新凯恩斯菲利普斯曲线与经济政策机制的研究，但是他说明新凯恩斯菲利普斯曲线在中国的适用性，但只是简单的评述了一下经济政策机制，并没有对最优货币政策进行研究；沈燕波（2010浙江工商大学）专门研究了一下新凯恩斯菲利普斯曲线的货币政策含义，并基于了1993年-2008年中国的数据进行了实证分析；陆军、刘威和李伊珍（2011）研究了新凯恩斯菲利普斯曲线框架下的中国动态金融状况指数，在模型的基础上进行了实证分析。刘翏（2010首都经济贸易大学）研究了粘性信息下的最优货币政策；郭航（2012）对粘性信息宏观经济模型进行了检验，并在此基础上对最优货币政策进行了研究。但是粘性信息菲利普斯曲线下货币政策的研究国内并没有，双粘菲利普斯曲线模型国内也暂无研究，用此模型研究货币政策也还没有进行。

经过阅读大量外文文献，了解粘性信息及粘性价格的产生背景以及发展，充分理解了粘性信息与粘性价格的区别及相关的地方以及理论模型的推导；了解菲利普斯曲线理论的发展过程。研究通过借鉴外国的经验方法，构建了双粘性的基本模型，在此基础上推导出常规的双粘菲利普斯曲线模型。该模型为下一步的实证研究做了基础。讨论了两种极端情况，模型对中国的适用性还有待进一步进行研究。

对最优货币政策各种规则有了较为全面的认识，欲在各种规则中寻找到最适合双粘菲利普斯曲线模型的分析环境的最优货币规则。由于该部分的分析需要结合双粘菲利普斯曲线模型的实证分析结果来进行，通过产出缺口与通货膨胀率建立菲利普斯曲线与最优货币政策之间的联系。因此目前仍处于一个思路的状态，不知道实证检验的结果究竟应该选择那种货币政策规则。

3.2 下一步实施内容

（1）检验双粘菲利普斯曲线模型在中国的适用性，估计出通货膨胀率和产出缺口。运用GMM观测各期通货膨胀率之间的相关性，以确定是否适用。

（2）将利率代入双粘菲利普斯曲线模型中，分析最优货币政策规则中泰勒规则在双粘性背景下的运行能力。

（3）利用估计出来的通货膨胀率和产出缺口，结合价格水平，分析目标价格或目标通货膨胀率下的最优货币政策选择。

4.研究心得

本项目的选题视角新颖，是目前经济学界的前沿课题。传统的经济模型均以理性预期为假设前提，经济主体能够处理所有信息，虽然这使得经济模型易于处理，却背离了现实生活。如此一来，经济模型当然无法对现实经济现象提供满意的解释。很多经济学家都意识到了对普通人来说完全理性的假设过于强了，经济主体的信息处理能力是受到一定限制的，并提出了有限理性、信息粘性等等假说，试图改进传统模型，建立更贴近现实的经济模型。粘性信息理论的出发点与上述经济学家是一致的，然而双粘性理论更胜一筹的地方在于，其模型中既包含了粘性信息也包含了粘性价格，更好的模拟经济的真实情况，具有坚实的微观基础。

双曲线的定义篇6

一、在探求最值问题上的运用

最值问题是高中数学的重点和难点之一，用定义来解决最值问题是解析几何中较常用的一种基本方法，它一方面可以加深学生对定义、概念的理解，另一方面还可以简化解题过程，揭示其中蕴涵的内在规律.

例1 F1为椭圆

x29+

y25=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，1）为定点，则

|PF1|+|PA|最小值？

解：如图1，连接F2A并延长交椭圆于P′，P是椭圆上一动点，

连接PF1、PF2、PA.

因为|PF1|+|PA|+|AF2|≥|PF1|+|PF2|

，而|PF1|+|PF2|=|P′F1|+|P′F2|=|P′F1|+|P′A|+|AF2|.

所以|PF1| +|PA|+|AF2|≥|P′F1|+|P′A|+

|AF2|

，

所以 |PF1|+|PA|

≥|P′F1|+||P′A

=

|P′F1|+

|P′F2|-|AF2|=6-2.

当P与P′重合时取“=”号，所以|PF1|+|PA|的最小值为6-2.

注意：一般情况下，凡涉及到圆锥曲线上的点和两个焦点的问题可考虑用圆锥曲线的第一定义来解决；凡涉及到焦点、半径、离心率及准线的问题，可考虑用圆锥曲线的第二定义来解决，还要注意挖掘题中的隐含条件.

二、在求动点轨迹方程中的作用

轨迹问题是解析几何中学习考查的又一重点，它因为有灵活多变，涉及面广，逻辑性强的特点常成为考试命题的亮点.由于它对学生的要求较高，因而往往是以中档难度以上的题型出现.其中用定义法求轨迹是一种非常直接有效的方法，但却容易被人忽视，它往往能避重就轻，化繁为简，化难为易，化抽象为具体.

例2 方程x2+（y-2）2=|x-y-4|对应点P（x，y）的轨迹为（ ）

（A） 椭圆 （B） 抛物线

（C） 双曲线 （D） 两直线

解：把原方程变形为

x2+（y-2）2

=2

|x-y-4|2

，它的几何意义是动点

P（x，y）到定点F（0，2）的距离比上它到直线L：x-y-4=0的距离的比值为

2，而2>1，由曲线的第二定义知，在椭圆，双曲线，抛物线中离心率大于1的只有双曲线.故选（C）.

注意：当圆锥曲线上的点与两焦点的距离建立联系时，常考虑第一定义，当圆锥曲线上的点与一焦点和相应准线的距离建立关系时，常考虑第二定义.所以要求我们准确理解圆锥曲线定义，注意画图并利用平面几何的知识解题.

三、在数学建模中的妙用

数学建模是让学生亲身经历将实际问题，抽象成数学模型，并进行分析、判断和应用的过程，实际生活中的许多问题蕴涵着且传递着数学信息.学生通过建模对各种实际问题获得更深刻的认识，从而促进了学生应用能力和创造性解决问题能力的提高.

例3 如图2所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路 或 送到成矩形的一块田

ABCD中去，已知PA=100 m，PB=150 m，

BC=60 m，∠APB=60°能否在田中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路PA送肥料较近，而另一侧的点沿道路PB送较近？如能，请说明这条界线是什么曲线，并求出它的方程.

解：如图2所示，以 所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立直角坐标系.

由|PA|=100 m，

|PB|=150 m，∠APB=60°，

得

|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|

cos60°=

1002+

1

502×100×150×12

=17500.

若这样的界线存在，如图设点M为此曲线上任一点

则由题意可得：

|PA|+|AM|=|PB|+|BM|即|MA|-|MB|=

|PB|-|PA|

=150-100=50

为定值，所以点M的轨迹（曲线）为双曲线的右支，设双曲线的方程为

x2a2-

y2b2=

1，点

A坐标为（-c，0），由上可得

c2=14|AB|2=4375，

因为

b2=c2-a2=4375-625=3750从而曲线的方程为

x2625-

y2625

-y23750=1（且在矩形内的部分）

又因双曲线与矩形的交点坐标为（25，0），（35，60），

故这条界线为双曲线，方程为

x2625-

y23750=1 （y≥0，25≤x≤35）

利用定义求圆锥曲线的问题是比较直接的方法，也是常用方法，利用定义求解圆锥曲线的某些问题能达到快捷，合理的解题效果.巧用定义解题必须对定义有透彻的了解，运用时应举一反三，触类旁通，以便牢固掌握.

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双曲线的定义篇7

1.从出题类型分析

第一类：给出曲线方程，根据已知条件，去求曲线性质中的某一项，如离心率、渐近线、准线等。

第二类：给出一定条件，求圆锥曲线方程。

第三类：直线与圆锥曲线的综合题。

第四类：向量与圆锥曲线的综合题。

第五类：圆锥曲线的定值，最值，参数的取值范围，对称等，有时还会出现有关探究性的问题。

2.考查特点

2.1 由已知曲线方程，去研究曲线的几何性质，主要考察对曲线的几何性质掌握的程度，是否达到熟练程度。

2.2 由已知条件求曲线方程，主要考察对曲线方程的求法的掌握程度。

2.3 直线与圆锥曲线的关系是高考重点内容之一，主要讨论直线与圆锥曲线的公共点问题，求弦长、交点弦、中点、直线方程、关于直线对称问题等。

2.4 平面向量和圆锥曲线结合，已成为高考的热点，主要通过给出的向量关系，利用向量运算，去解决与圆锥曲线有关的综合性问题。

2.5 有关圆锥曲线经过定点，求其定值，讨论最值，曲线方程中参数的范围，是高考中经常出现的内容，涉及知识面广，常用到函数、方程、不等式、三角等方面的知识，有关探究性问题，它具有考查思维能力，分析推理能力，经常结合其他章节的知识点，综合运用于高考试题之中。

3.应试策略

3.1 求曲线方程的几种常用方法

解析几何的实质，是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程，研究曲线的性质。因此，首先要掌握求曲线方程的思路和方法，求曲线方程常用方法有四种。

3.1.1 定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，用待定系数法，求出该曲线的标准方程。

3.1.2 直接法：根据题设动点轨迹的几何条件，列出含动点坐标（x，y）的解析式，经过化简，求该曲线的方程（如椭圆、双曲线、抛物线的方程的求法）

3.1.3 代入法：相关点轨迹问题，主动点Q在已知曲线f（x，y）=0上运动，求与之相关的点P的轨迹方程，先找出两点坐标之间的关系，再代入主动点Q所满足的曲线f（x，y）=0中，化简求方程。

3.1.4 参数法：恰当引入参数，将动点纵横坐标用参数表示，再联立消去参数，得曲线方程。

（如椭圆参数方程x=acosα

y=asinα α为参数）

3.2 熟练掌握曲线 的基本知识是解题的关键，解决圆锥曲线问题，圆锥曲线的定义，第二定义，a，b，c，e，a2c，ba ，P，p2，的本质含义及相互关系，特别是第二定义的应用容易被忽略。PEd=e，a2=b2+c2，c2=a2+b2，0

3.3 熟练掌握直线与圆锥曲线综合题的研究方法。

3.3.1 判断直线L与圆锥曲线C的位置关系，可将直线L的方程代入曲线C的方程中，消去y（也可消去x），得到一个关于变量x的一元二次方程，然后利用法去求解。

3.3.2 有关弦长问题，由直线方程与曲线方程组成方程组，代入消去一个变量得到一个一元二次方程，用韦达定理求出x1+x2，x1x2及K。

用弦长公式AB=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2] 或（1+1k2）[（y1+y2）2-4y1y2]去解决，如果有参数，应注意>0这个条件。

有关焦点弦长问题，重视圆锥曲线定义的运用，以便运算简单化。

3.3.3 有关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算。

3.3.4 有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系或向量方法及韦达定理，设而不求整体处理。

3.3.5 有关圆锥曲线关于直线L的对称问题，若A，A1是两个对称点，应抓住A，A1的中点在直线L上及KA1A，KL=-1这两个关键条件，解决问题。

3.3.6 有关直线与圆锥曲线位置的存在性问题，一般采用“反证法”或“假设验证法”来解决。

3.4 向量与圆锥曲线问题

关键是正确理解所给向量关系的含义，利用向量的坐标运算，正确表示出基本关系，通过化简，得出两个变量之间的关系，再利用所给出的条件联解去解决向量与圆锥曲线的综合性问题。

3.5 圆锥曲线的定点、定值、最值，曲线方程中参数的范围是圆锥曲线的综合性问题是解析法的综合运用，解决曲线过定点，求其定值，讨论最值，离不开曲线方程，用函数，基本不等式等思想方法去解决。

与圆锥曲线有关的参数范围及最值问题，常用两种方程：（1）不等式（组）求解法，利用题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式求之，（2）函数值域求解法，先建立目标函数，再通过讨论函数的值域，求参数函数范围或利用配方法，判别式法，基本不等式法，及函数单调性法求最值。

总之，圆锥曲线的综合性问题，主要涉及直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线与函数、方程、不等式，向量等知识的综合运用，考查数学思想有数形结合思想，分类讨论思想，等价转化思想等。

4.下面通过有关高考试题，浅谈具体应用问题

例1 （05年全国）已知双曲线x2-y22=1的焦点F1， F2，点M在双曲线上，且MF1・MF2=0，则点M到X轴的距离为：

A. 43 B. 53 C. 233 D.3

分析：此题属于向量与圆锥曲线的综合题，从MF1・MF2=0表示出变量x，y之间的关系，与双曲线联解，求出|y| 即点M 到X轴的距离。

略解：C=3，F1（-3，0），F2（3，0），

MF1・MF2=（-3-y，-y）（3-y，-y）=0

则x2+y2=3，代入中x2-y22=1，y2=43，|y|=233，故选C。

例2 （05年全国）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆与点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为：

A. 22 B. 2-12 C.2-2 D.2-1

分析：此题将平面几何，双曲线方程、求根公式结合起来，考察椭圆的基本性质。

略解：设椭圆方程为：x2a2+y2b2=1（a>b>0），由已知得|PF2|=2C，则P点坐标（C，2C），代入椭圆方程中c2a2+4c2a2-c2=1

化简c4+6a2c2+a4=0，解得：c2a2=3±22，

例3 （06年陕西）已知双曲线x2a2-y22=1（a>2）的两条渐近线的夹角为π3 ，则双曲线的离心率为：

A. 2 B.3 C.263 D.233

分析：此题是直线的夹角公式与双曲线的综合应用，通过双曲线渐近线的夹角，求出a的取值，再通过a，b，c的关系求出c，进而求出离心率e.

略解：由已知得：y=±2ax，k1=2a，k2=-2a

tgπ3=3=k2-k11-k1k2=22a1-2a2

解得：a=22±4223

a>2 a=6，c=22，e=233， 故选D。

通过以上高考试题及分析，可以看出圆锥曲线试题在高考中占有一定的比重，且具有一定的难度，因此，在高考前的复习中，要下一定功夫去掌握它们的性质及解题技巧和方法，以免遇到圆锥曲线题型时，出现失分较多的尴尬。

双曲线的定义篇8

错解一：右准线方程为x=4，=4，又c=10，a=40，b=c-a=60，故双曲线方程为-=1.

错解二：右焦点F（10，0），C=10，又e==2，a=5，b=c-a=75，故所求的双曲线方程-=1.

上述两个错解，究其原因，是对曲线的“型与量”的关系处理不当.因为双曲线的中心没有明确在坐标原点上，所以不能根据双曲线的标准方程中的量与量的关系来定量计算.也就是说该题由于双曲线位置关系不明，就不能用定型到定量的方法解决，只能用圆锥曲线第二定义来解决.而所谓“定型”是指对曲线的形状、位置、大小的确定（或判断）.“定量”则是在定型的基础上，求曲线（方程）中所涉及数量.我们在解题中只有认真审清题意，准确地判断好曲线形状、位置、大小，才能相应地定量计算相关的量.其实解析几何中很多题目都是由定型到定量或定量到定型来解决的，把定型和定量有机地结合起来，就能快速准确解决解析几何中曲线问题，如下面例子.

一、由曲线“定型定量”的解题

在通过题目分析，确定曲线形状及其位置（定型）后，再根据其形状、位置、大小来定量解决相关数量，或设好曲线的（方程）待定式，再求式中的待定数与量（定量）.

例题1（2002年北京高考?文）：若直线L∶y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线L倾斜角的取值范围（ ）.

A.（，） B.（，） C.（，） D.（，）

解析：因为直线2x+3y-6=0过点A（3，0）和点B（0，2），直线L∶y=kx-过点C（0，-），所以直线L绕C点必须与线段AB相交（不含点A、B）时，则交点进入第一象限（定型）.易求直线L倾斜角的取值范围（定量）是（，）.

例题2（2003年北京春季招生?理）：已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x+y=1相切，则三边长分别|a|，|b|，|c|的三角形是（ ）.

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在

解析：因为直线与单位圆相切（定型），所以圆心到直线的距离等于半径（定量），所以=1，即|a|+|b|=|c|.故选B.

二、由曲线的“定量定型”的解题

在通过题目分析中，由题中的数量（定量）关系，确定曲线的形状或位置或大小（定型）情况.然后利用曲线固有的一些性质来解题.

例题3：顶点在原点，坐标轴为对称轴，且过点（-2，3）的抛物线是（ ）.

A.y=-x B.x=y

C.y=-x或x=y D.以上都不对

解析：由点（-2，3）的坐标（定量）可知，抛物线经过第二象限（定型），故可设抛物线方程为y=-2px或x=2py（p＞0），此时把（-2，3）的坐标代入可得p=或p=，故选C.

例题4：已知曲线的中心在原点，焦点F，F在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）.

（1）求曲线方程；

（2）若点M（3，m）在曲线上，求证：MFMF；

（3）求FMF面积.

解析：（1）曲线离心率e=（定量），曲线是双曲线（定型），可设方程为x-y=λ（λ≠0）；

又曲线过点（4，-），16-10=λ，即λ=6.

所以双曲线方程为x-y=6.

（2）易知焦点F（-2，0），F（2，0），

K=，K=，K?K==-.

又（3，m）在双曲线上，9-m=6，m=3，

故K?K=-1（定量），则MFMF（定型）.

（3）由M（3，±）在曲线上知（定型），FMF中FF=4，边FF的高h=（定量），FMF面积是6.

三、由曲线的“定型?圮定量”的解题

在许多题目解答中，往往还要利用定型、定量多次转换.

1.由曲线“定量定型定量”的解题

例题5：已知圆M经过点P（-4，0），且与圆C：x-8x+y=0相切的圆心M的轨迹方程是 .

解析:设圆M的半径为R，又由圆C的标准方程（x-4）+y=16可知半径r=4，结合图形可得，若圆M与圆C外切时，|MC|-|MP|=4，若圆M与圆C内切时，|MC|-|MP|=-4，也就是说||MC|-|MP||=4（定量）.显然点M的轨迹满足双曲线的定义，则点M轨迹是以P，C为焦点双曲线（定型），其点M轨迹方程为-=1（a＞0，b＞0），由题意和双曲线定义可知2a=4，c=4，则可求得b=12（定量）.故填-=1.

2.由曲线“定型定量定型”的解题

例题6：方程y=ax+b与y=ax-b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是（ ）.

解析：由四个选项可知，y=ax-b表示椭圆（定型），y-ax=-b，即y+=-b，a＜0，b＜0（定量）；由此可得抛物线y=ax+b是开口向左且焦点在x的负半轴上（定型）.故选A.