时间：2023-10-10 00:53:58
【教学目标】
1.知识与技能
在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并能根据同底数幂的乘法性质进行运算。
2.过程与方法
经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力，培养学生观察、概括和抽象的能力。
3.情感、态度与价值观
在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心。
【教学重点】
理解和正确使用同底数幂的乘法运算性质。
【教学难点】
对于运算性质中有关字母的广泛含义的正确理解。
【教学过程】
一、创设情境，激发兴趣
通过出示一组城市景观画面，说明改革开放三十年给人们生活带来的巨大变化，同时也推动了科技的发展。从第一代30吨的电子计算器到现在的微型电脑，体积变了，计算速度也快了。引出课本中的引例：
问题：一种电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
设问：你会列式计算吗？通过本节课的学习，你将学会一种很好的方法来进行计算。
设计说明：通过本课情境设计，目的是激发起学生的好奇心，引发学生的求知欲，提高学生对本章探究的愿望，也在数学教学中渗透思想教育，然后切入本节内容。
二、知识回顾，温故知新
问题：1.什么叫作乘方？2.乘方的结果叫作什么？
通过设置一组练习帮助学生回忆相关的概念
1.10×10 ×10=10（ ）
2.a・a・a・a・a=a（ ）
3.a・a……a=a（ ）
■
问题：an表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫作什么？
问题：说出am的乘法意义，并将下列各式写成乘法形式：
（1）103 （2）（-2）4
设计说明：此问题的提出，目的是通过回忆旧知识，为完成下面的尝试题和学习本节知识提供必要的知识准备。
问题：你能根据乘方的意义算出下列式子的结果吗？
（1）25×22 （2）a3 ・a2 （3）5m ・5n
引导学生通过利用乘方的意义及乘法结合律得出这三个式子的结果。
（1）25×22=25+2 （2）a3 ・a2=a3+2 （3）5m・5n=5m+n
问题：这几道题有什么共同的特点呢？
计算的结果有什么规律？
通过学生的回答，进行课题板书：同底数幂的乘法
三、知识探究，揭示规律
问题：猜想，当m，n为正整数时， am・an=？（板书）
am ・an=（aa … a）（aa…a）（乘方的意义）
■ ■
= aa…a （乘法结合律）
■
=am+n（乘方的意义）
学生活动，同桌研究讨论，并引导学生说出推导的过程及根据，使学生充分理解乘法性质。
师生共同总结：am・an=am+n（m、n都是正整数）
问题：请同学们试着用文字概括这个性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
对这条乘法性质作一些解释和说明，并用新知识验证引例结论：
问题：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？
学生活动：观察am・an・ap（m、n、p都是正整数），然后回答得出结论：
am・an・ap=am+n+p（m、n、p都是正整数）
设计说明：注意对学生从特殊到一般的认识方法的培养，提示新规律时，强调学生的积极参与。
四、新知应用，加深理解
问题：算一算
出示课本例题：（1）x2×x5 （2）a・a6 （3）2×24×23 （4）xm ・x3m+1
学生在练习本上完成例题并指名回答，集体订正。及时对学生出现的问题和容易出现的问题作一点评。
问题：辨一辨
判断下列计算是否正确，并简要说明理由：
（1）b5 ・b5= 2b5 （ ） （2）b5+b5= b10 （ ）
（3）x5・x5=x25 （ ） （4）y5・y5=2y10 （ ）
（5）c ・c3=c3 （ ） （6）m+m3=m4 （ ）
学生以比一比的活动形式独立完成，集体订正，以调动学生的积极性。
问题：填一填
（1）x5・（ ）=x8 （2）a・（ ）=a6
（3）x・x3（ ）=x7 （4）xm・（ ）=x3m
学生独立完成，并让学生说出解题的思路，并进行适当的解题小结。
设计说明：在本环节中，主要突出学生通过相关练习，加深对同底数幂乘法性质的理解。
五、拓展新知，拓宽思维
问题：想一想
计算：（结果写成幂的形式）
（1）（-2）4×（-2）5= （2）53×（-5）2= （3）（a+b）2・（a+b）5=
引导学生同桌交流，完成本题.教师指名回答。并及时小结：公式中的a可代表一个数、字母、式子等.而且进行计算时，就先把不同底数化为同底数，然后再进行计算。
问题：议一议
已知：am=2， an=3，求am+n=？
学生小组讨论，引导学生从数学的转化思想入手，把未知的问题转化为已知的条件，从而得出同底数幂的乘法性质的逆应用。
小结：am・an ？葑am+n
设计说明：本环节主要是为了突破同底数幂乘法性质的难点，从底数的含义及乘法性质的正、逆应用进行设计，提高学生的数学思维能力。
六、自我检测，及时巩固
1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）x4・x6=x24 （ ） （2）x・x3=x3 （ ）
（3）x4+x4=x8 （ ） （4）x2・x2=2x4 （ ）
（5）a2・a3-a3・a2=0 （ ） （6）x3・y5=（xy）8 （ ）
（7）x7+x7=x14 （ ）
2.若xm+3・x2=x7则m的值为____。
3.已知2x×2y=25则正整数x ， y的值有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
4.已知2x=8，2y=16，则2x+y=____.
5.探索思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：
（1）（23）2=23×23=2（ ）
（2）（am）n= a（ ） （m、n为正整数）
设计说明：通过本环节的练习，使学生对新知识有了更深入的理解，提高学生正确运用乘法性质正确解题的能力。特别是对于探索思考题的设置，为下一节课的学习起到铺垫的作用。
七、小结收获，布置作业
1.我的收获：引导学生从知识和方法两个方面进行小结。
知识方面：学习了同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。
方法方面：在进行公式的推导过程中，运用了数学归纳的常用方法：特殊-一般-特殊，那所对应的是例子-公式-应用。
一、 幂的运算与生活的密切联系
数学知识不是孤立的数字游戏，它是源于生活的，“幂的运算”同样也是来源于生活的.如同底数幂的乘法中有这样一个现实问题：“一种电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作1013秒可进行多少次运算？”再比如课本上的例2：一颗卫星绕地球运行的速度是7.9×103 m/s，求这颗卫星运行1 h的路程.再如“幂的乘法与积的乘方”中如何解决黑板上写不下100个104的连乘等，使大家体会生活数学中的“大数值”.同底数幂的除法与科学计算中的负指数也有很多生产、生活中的应用实例，如课本例4在显微镜下，一种细胞的截面可以近似看成圆，它的半径约为7.80×10-7 m，试求这种细胞的截面面积.还有纳米与微米换算等，让大家感受微观世界中的“小数值”.
二、 幂的运算注重新旧知识的联系
“幂的运算”中有大量的有理数的乘方运算.实际是通过“做一做”有理数的乘方运算让同学们体会感受同底数幂的乘法的合理性，并让同学们能说出每步计算的依据，逐步从合情推理向演绎推理过渡.并让同学们感受证明的必要性，发展大家的演绎推理的能力.让同学们在“做”（即计算）中学法则，在法则运用中体会计算.
三、 幂的运算中各个公式的区别与联系
在“幂的运算”中有这样四个法则：
1. 同底数幂的乘法法则：am・an=am+n（m、n是正整数）.
（1） 先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的含义.
（2） 它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：（2x+y）2・（2x+y）3=（2x+y）5，底数就是一个二项式（2x+y）.
（3） 指数都是正整数.
（4） 这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am・an・ap・…=am+n+p+…（m，n，p都是自然数）.
2. 幂的乘方法则：（am）n=amm（m、n是正整数）.
要掌握幂的乘方和同底数幂的区别，如（x3）4=x3×4=x12与x3・x4=x3+4=x7.
3. 积的乘方（ab）n=anbn（n为正整数）.
积的乘方主要强调的是指数相同，并要与幂的乘方区别开来，积的乘方乘方后相乘，幂的乘方是指数相乘.
4. 同底数幂的除法：am÷an=am-n（m、n是正整数，m>n）.
和同底数幂相乘一样要强调底数相同，不同的是指数相减.而且它们之间是互为逆运算的关系.
四、 幂的运算中法则的逆用
大多数同学在运用上述幂的运算法则时，正向运用问题不大，但进行逆向思维时，却困难重重.但这些法则的逆用可以进行简便计算，化繁为简.
如：（1） 同底数幂的乘法与积的乘法的反用：若am=6，an=7，求a2m+n；
（2） 幂的乘方的反用：若5a =3，求25a 的值；
（3） 同底数幂的除法的反用：若am=3，an=6，求a3m-2n.
五、 幂的运算中的数学思想方法
幂的运算中除了上面讲的整体思想和逆向变换思想外，还有转化思想.例如：若2×8m×16m=410，求m的值.本题左边形式上不符合同底数幂的乘法，通过转化为2为底的同底数幂的乘法，将陌生的问题转化为熟悉的公式.再有分类思想，如课本复习题第9题：已知a、b是有理数，且ab=1，求a、b.本题要对a、b进行分类.当b=0时，a为不等于0的数；当b不等于0时，若a=1，则b为任何整数；若a=-1，则b为任何偶数.
1.理解同底数幂乘法的性质，掌握同底数幂乘法的运算性质.
2.能够熟练运用性质进行计算.
3.通过推导运算性质训练学生的抽象思维能力.
4.通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力.
5.通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度.
二、学法引导
1.教学方法：尝试指导法、探究法.
2.学生学法：运用归纳法由特殊性推导出公式所具有的一般性，在探究规律过程中增进时知识的理解.
三、重点·难点及解决办法
(-)重点
幂的运算性质.
(二)难点
有关字母的广泛含义及“性质”的正确使用.
(三)解决办法
注意对前提条件的判别，合理应用性质解题.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.复习幂的意义，并由此引入同底数幂的乘法.
2.通过一组同底数幂的乘法的练习，努力探究其规律，在探究过程中理解公式的意义.
3.教师示范板书，学生进行巩固性练习，以强化学生对公式的掌握.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课主要学习同底数幂的乘法的性质.
(二)整体感知
让学生在复习幂的意义的基础之上探究同底数幂的乘法的意义，只有在同底数幂相乘的前提条件之下，才能进行这样的运算方式即底数不变、指数相加.
(三)教学过程
1.创设情境，复习导入
表示的意义是什么?其中、、分别叫做什么?
师生活动：学生回答(叫底数，叫指数，叫做幂)，同时，教师板书.
个
.
.
提问：表示什么?可以写成什么形式?______________
答案：;
【教法说明】此问题的提出，目的是通过回忆旧知识，为完成下面的尝试题和学习本节知识提供必要的知识准备.
2.尝试解题，探索规律
(1)式子的意义是什么?(2)这个积中的两个因式有何特点?
学生回答：(1)与的积(2)底数相同
引出本课内容：这节课我们就在复习“乘方的意义”的基础上，学习像这样的同底数幂的乘法运算.
请同学们先根据自己的理解，解答下面3个小题.
;
;.
学生活动：学生自己思考完成，然后一个(或几个)学生回答结果.
【教法说明】
(1)让学生在已有知识的基础上感知规律的存在性、一般性，从而建立对同底数幂乘法法则的感性认识.
(2)培养学生运用已有知识探索新知识的热情.
(3)体现学生的主体作用.
3.导向深入，揭示规律
计算的过程就是
也就是
那么，当都是正整数时，如何计算呢?
(都是正整数)
(板书)
学生活动：同桌研究讨论，并试着推导得出结论.
师生共同总结：(都是正整数)
教师把结论写在黑板上.
请同学们试着用文字概括这个性质：
同底数幂相乘底数不变、指数相加
运算形式运算方法
提出问题：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢?
学生活动：观察(都是正整数)
【教法说明】注意对学生从特殊到一般的认识方法的培养，揭示新规律时，强调学生的积极参与.
4.尝试反馈，理解新知
例1计算：
(1)(2)
例2计算：
(1)(2)
学生活动：学生在练习本上完成例1、例2，由2个学生板演完成之生，由学生判断板演是否正确.
教师活动：统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励.
注意问题：例2(2)中第一个的指数是1，这是学生做题时易出问题之处.
【教法说明】学生在认识的基础上，尝试运用性质，加深对性质的理解.学生做题正确与否，教师均应以鼓励为主，增强学生学习的信心.
5.反馈练习，巩固知识
练习一
(1)计算：(口答)
①②③
④⑤⑥
(2)计算：
①②③
④⑤⑥
学生活动：第(1)题由学生口答;第(2)题在练习本上完成，然后同桌互阅，教师抽查.
练
下面的计算对不对?如果不对，应怎样改正?
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
学生活动：此练习以学生抢答方式完成.注意训练学生的表述能力，以提高兴趣.
【教法说明】练习一主要是对性质运用的强化，形成定势.练中主要是通过学生对题目的观察、比较、判断，提高学生的是非辨别力.(1)(2)小题强调同底数幂乘法与整式加减的区别.(3)(4)小题强调性质中的“不变”、“相加”.(5)小题强调“”表示“”的一次幂.
6.变式训练，培养能力
练习三
填空：
(1)(2)
(3)(4)
学生活动：学生思考后回答.
【教法说明】这组题的目的是训练学生的逆向思维能力.
练习四
填空：
(1)，则.
(2)，则.
(3)，则.
学生活动：学生同桌或前后左右结组研究、讨论，然后在练习本上完成.
【教法说明】此组题旨在增强学生应变能力和解题灵活性.
(四)总结、扩展
学生活动：1.同底数幂相乘，底数_____________，
指数____________.
2.由学生说出本节体会最深的是哪些?
【教学说明】在1中强调“不变”、“相加”.学生谈体会，不仅是对本节知识的再现，同时也培养了学生的口头表达能力和概括总结能力.
八、布置作业
P941，2.
参考答案
【关键词】类比 新型高效课堂 自主构建 自主探究
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0129-01
伴随新课程改革，数学课堂中也发生着许多新的变化。不同的教学思想催生出了各种不同的教学模式及教学方法。数学老师们总是希望在课堂上学生不但能学到数学知识，同时也希望学生能学到研究数学的学习方法，从而切实提高学生自主的数学学习能力。这里我向大家介绍“类比学习”法：其主要手段是通过知识内容的相似或者知识结构的相似，研究方法的相似，让学生通过类比曾经或已经掌握的数学知识或研究方法，研究策略对新知识进行主动探究，从而彻底改变学生的学习习惯，思维习惯，改善学生的学习方式，促进学生主动参与并提高学生的学习兴趣，提高学生的思维能力，从而达到课堂的高效。因此它是一种构建高效新型课堂的重要方法。下面我举几个例子来说明这一思想方法的应用。
片段1：上《分式》这一章时，在学完分式的定义后，老师可以提出如下的问题。
1.从一般和特殊的角度来看，分数与分式有什么联系？
生答：分数是分式的特殊化，分式是分数的一般化，也就是推广。
2.小学里我们研究分数大致路径是什么？
生答：（1）分数定义（2）分数性质（3）分数乘除及乘除混合运算（4）同分母分数加减（5）异分母分数相加减（6）分数混合运算 （7）分数的应用。
3.分数是分式的特殊情况，由此，我们是否可以借鉴分数的研究方法来研究分式呢？
应该采用怎样的步骤来研究分式呢？
生答：（1）分式定义（2）分式性质（3）分式乘除及乘除混合运算（4）同分母分式加减（5）异分母分式相加减（6）分式混合运算（7）分式的应用。
这样，学生在此过程中学会了类比构建知识的学习方法，明确了目前的分式是从分数推广而来，是从特殊到一般的过程，对本章的学习有着十分明确的指导作用。对研究《分式》的目的，大致路径及研究方法都有了很好的把握，不再会被老师牵着鼻子走。在后面每节课介绍学习目的，学习方法时，学生都能很快进入状态，都能明确课时学习目标，增强学习的目的性，为学生自主探究创造条件。
片段2：在人教版第十四章《整式乘法与因式分解》这一章教学中过程中，在14.1.1《同底数幂的乘法》教学完成后，14.1.2《幂的乘方》教学过程按如下程序进行：
1.首先复习幂的定义及同底数幂的乘法法则。
2.回顾同底数幂的乘法研究过程如下图：
即四个小步骤：①特殊的同底数幂相乘②底数的一般化③指数的一般化④同底数幂最一般的情形，底数指数都是字母表示。
3.提出如下问题：
师：我们今天学的内容是幂的乘方，哪位同学能帮我们举一个具体的具有幂的乘方的形式的数学算式。
生：（35）4
师：我们能进一步简化这个式子么？请自己动手化简，完成后可以小组内交流（一人上台展示化简结果及过程），还可以思考幂的乘方有什么规律么？
生：（35）4=35×35×35×35 =35+5+5+5 =320
师：同学们认为这个结果正确么？
生：正确。
师：类似于同底数幂乘法的研究过程，我们这里探讨了特殊的幂的乘方的算式。大家可以看到，幂的乘方中也涉及到了底数和指数，我们在研究完具体的幂的乘方的算式后，怎样进一步对同底数幂进行研究呢？
生：对幂的底数一般化，取一个字母，比如a。
通过上面的教学过程，通过借鉴同底数幂的运算的研究方法，学生的研究热情被调动起来，学生不但有了研究的方向，也有了自主研究的方法。这样，学生自主研究，自主研讨，交流就成为了可能，并落在课堂的实处。长期坚持，学生的自主学习，自主探索的能力的提高就会成为现实。
片段3：在人教版八下18.2.1《矩形》第二课时，其主要内容是研究矩形的判定。老师可以按下面的程序进行提问：
1.我们是如何找到平行四边形的判定方法的呢？研究路径是怎样的呢？
2.矩形的性质有哪些？你是从哪几个方面来看的？
答：具有平行四边形的一切性质。另外从角来看，四个角都相等且是直角。从对角线来看， 对角线相等。
3.小明的爸爸想看看自己新做的相框是不是矩形？有哪些方法？你能帮帮他么？
4.借鉴平行四边形的研究方案，对于判断一个四边形或者平行四边形是矩形，你认为应该如何展开研究呢？有哪些方法？
5.如何验证你的方法正确与否呢？
这一教学环节也是通过借鉴平行四边形的研究方案，通过类比让学生有了自主探究的方法。通过矩形性质逆命题的寻找及修正完成本课矩形判定的教学。通过这一课时的教学，学生真正将研究几何判定定理的方法内化，从而提高学习兴趣及学习能力。相比于单纯的讲授式教学，在能力方面，真正做到了“授人以渔”。通过这一课时的教学，学生在学习菱形，正方形以及相似三角形的判定及性质等内容的学习时，必将会自觉运用找寻逆命题这一有效武器进行探究。
1.知识目标：
（1）正确理解有理数乘方、幂、指数、底数等概念
（2）会进行有理数乘方运算
能力目标：
通过对乘方意义的理解，培养学生观察，比较，分析，归纳，概括的能力，渗透转化思想.
3.情感目标：
（1）通过观察、推理，归纳出有理数乘方的符号法则，增进学好数学的自信心
（2）体验小组交流、合作学习的重要性
【教学重点】正确理解乘方的意义，掌握有理数乘方的符号规律
【教学难点】正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算
【课型】：新授课
【教具】：多媒体课件（演示文稿）
【教学方法】：讲授法、讨论法
【教学过程】
1.创设情境，引入有理数的乘方
从前有个聪明的乞丐要到了一块面包，他想，天天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，依次类推，每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，我就永远不要去要饭了！
请同学们讨论交流，再算一算，如果把整块面包看成整体"1"，那他第一天将吃到面包的（ ）；第二天将吃到面包的（ ）；第三天将吃到面包的（ ）……第十天将吃到面包的（）.
这就是我们这节课要学习的内容-----有理数的乘方
2.合作交流，探索新知
（1）正方形的边长是5cm，它的面积是多少？
（2）正方体的棱长是acm，它的体积是多少？
猜想：4个a相乘怎么写？5个a呢？n个a呢？
引导：显然这样的书写和计算都很麻烦，人们在社会和科学的实践中，通常都是寻找一种既简洁又美观的表达形式和方法，这里自然会想到能否找到一种既简洁又美观的方法表示n个a相乘呢？
教师启发学生联想，4个a相乘表示为a4，5个a相乘表示为a5，那么n个a相乘表示为an
引出乘方运算的定义、符号及写法读法.
求几个相同因数的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数.
在学生初步理解乘方的意义的基础上，教师强调指出如下几点：
（1）乘方是一种运算，跟加减乘除运算一样，加法的结果叫做和，减法的结果叫做差，乘法的结果叫做积，除法的结果叫做商，而乘方的结果叫做幂。
（2）乘方运算一定要注意书写规范、正确，强调底数写正中间且大，而指数位于底数的右上角且小.
（3）当底数是负数或分数时，必须加括号，把它看成一个整体。
3.例题解析，总结规律
例1.（1）指出下列乘方中的底数、指数，并指出他们各表示什么意义
（2）（-3） ×（-3） ×（-3） ×（-3） ×（-3）可以记为（）
（3）在（-5）2中，底数是____，指数是____.
（4）在-52中，底数是____，指数是____.
探究讨论：-52与（-5）2 有什么不同？结果相等吗？
（ -52 读作 5的平方的相反数，表示5的平方的相反数
（-5）2 读作-5的平方，表示2个-5相乘
-52=-25 ；（-5）2=25 ）
例2.计算
（1）53（2）（-3）4（3）-34（4）25
例3.计算
（1）21 22 23 24 25
（2）（-2）1 （-2）2 （-2）3（-2）4 （-2）5
（3）11 14 17 18 12015
（4）01 06 08 09 02015
观察例3的结果，你能发现什么规律？小组讨论，每组代表发言.
总结规律并板书：正数的任何正整数次幂都是正数
负数的奇次幂是负数
负数的偶次幂是正数
1的任何正整数次幂都是本身
0的任何正整数次幂都是0
3.课堂小结与作业布置
（1）这节课你学到了什么？
（2）作业
【教学反思】
[关键词] 初中数学；建构主义；教学；同底数幂
当前教学发展中，提高课堂教学质量是教学追求的终极目标之一，而建构主义强调以学生为中心，这符合当前新课程改革的要求，且与传统教学中“满堂灌”“一刀切”等教学模式形成了鲜明的对比，更易于吸引学生的注意力，尊重学生作为独立个体的需要和潜能，为学生创造力的发挥创造了空间，建立起一种使学生学会创造和学习的教学模式，使得学生的主体作用真正得到发挥，这对于中学生的全面发展具有很重要的现实意义.
建构主义的主要观点
兴趣是最好的老师，对于学生的学习，建构主义注重让学生主动参与学习，具体来说，在知识观方面，其认为知识是学生以意义建构的方式获得的，而非简单且被动地接收信息，重在体现为主动地建构知识的意义，结合经验背景来建构完成；在学习观方面，建构主义注重师生和生生之间的交流协作，学生是知识的主动建构者，并于真实复杂的情境中完成学习任务；在教学观方面，建构主义注重让教学随着学生的思路及接受方式去进行，在了解学生原有经验知识的前提下，找出新旧知识的契合点，对于知识的理解，重视以学生自己的认知方式去进行，最终达到独立学习的程度.
“同底数幂的除法”教学中建
构主义的运用与点评
1. 课前预习，导入问题
师：前面的课程学习中，我们了解了同底数幂的乘法等，结合以前所学的相关知识，同学们现在来完成这几道题的计算，并反思计算过程中用到的数学知识.
计算：（1）（3ab3c2）5；（2）a2・a・a3；（3）[（2a-b）4]2.
点评 ？摇在新课导入中，这种“唤醒”以往知识的常规做法，承接了上一节课的内容，又利于引出本节内容，体现了相关知识体系的完整性. 建构主义认为，在新课导入中，教师应注重使学生获得预备知识和必要经验，教师应借助“以题理知”的方式实现对学生在幂运算方面知识储备的唤醒，有利于后续教学的开展.
师：苏州水资源丰富，有“鱼米之乡”的美誉，但其却出现了饮水苦难的情况，同学们可以计算一下我国人均水资源的状况. 统计显示，我国2013年水资源总量为2.8×1012 m3，若将我国总人口按照1.4×109来计算，那么我国的人均水资源为多少？
生：（2.8×1012）÷（1.4×109）=.
师：会计算吗？（等了一会儿，没人回答）
师：跟我们以前学过的知识相比，这个问题比较复杂，但不是不能计算，我们先来看一个简单的问题. 一个长方形的一边a=54，总面积S=57，如图1所示，另一边b的长是多少？
生：长方形的面积等于相邻两边长之积，已经给出了一边的长度，那么另一边可由面积除以已知边的长得出，列式为b=
师：结合以前学过的内容观察上式，我们可将其转换为b=57÷54=53，这样，大家看看这一算式有什么特征呢？大家总结一下.
生：是底数相同的两个幂相除.
师：很正确，这种运算将是我们本节课要学习的内容.
师：观察不能代替运算，所以请各位同学用自己的方式去算一下这一式子，待会儿相互交流方法.
（经教师观察发现，共出现了三种算法，教师让学生到黑板上展示了自己的算法）
方法三：因为53×54=57，所以b==53.
师：这样，我们总结出了常见的三种解题算法，它对于类似问题的处理又有什么启发呢？大家思考一下.
生：方法一是依据幂的意义，具体计算时，需要进行整体处理；方法二是依据幂的意义；方法三是根据乘法与除法为互逆运算，通过对公式的逆用来解决的.
师：很好，那么，这几种方法中哪个更简单、便捷呢？
生：第三种.
点评？摇 在数学教学中，建构主义更注重在社会环境中完成认识活动，这里的引入采用了双情境导入式，分别为数学问题情境与实际问题情景，是一种通过设置贴近学生生活的环境，促使学生在解决问题时能置身对应的情景之中，去探寻同底数幂除法的算法过程. 在这种模式下，学生可以独立思考并就算法进行互相交流，继而总结出一般规律，优化处理问题的思路，易于体现学生的自主学习.
2. 研究探索，猜想法则
师：运用前面提到的第三种方式，同学们解决一下如下问题.
计算：（1）28÷23；（2）（-3）5÷（-3）2；（3）3.
解析 （1）由于25×23=28，所以28÷23=25.
（2）由于（-3）3×（-3）2=（-3）5，所以（-3）5÷（-3）2=（-3）3.
（3）由于.
师：从上述计算中可以看出，幂由几部分组成？
生：由底数和指数两部分组成.
师：上述三个题目的运算结果表明指数之间存在什么关系？幂的底数不变，大家可以试着总结一下吗？
生：商的指数由被除数的指数减去除数的指数得到，且底数不变.
师：那同学们能猜想出同底数幂相除的一般运算法则吗？可以试着总结一下.
生：同底数幂相除，底数不变，指数相减.
师：恩，很好，归纳得很不错.
点评？摇 借助于让学生自行探索获取新知识的方式，实现了其对知识的主动构建，并努力创新自己的所学，有助于学生从真正意义上理顺学习的内容及结构. 教师应当注意所举例子应具有代表性和普遍性，从而使学生经历从特殊到一般的过程，并找出其中的规律，达到理性认识，利于后续学习的展开.
3.？摇推演论证，得出法则
师：数学学习讲求逻辑性，接下来，我们要对前面的猜想进行严格的数学证明.
板书如下：am÷an，即m个a的乘积除以n个a的乘积，也就是（m-n）个a相乘再乘以n个a，然后再除以n个a，根据乘法运算，抵消了n个a相乘，所以结果为（m-n）个a相乘，我们可以将其写为am-n.
师：对于am÷an=am-n，同学们能用语言描述一下吗？
生：（用文字描述）同底数幂相除，底数不变，指数相减.
师：大家仔细观察这个运算法则，结合以前所学的知识回忆一下，是否跟我们以前学过的什么知识类似呢？
生：老师，我发现很像同底数幂的乘法，即am×an=am+n，概括来说，就是同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
师：截至今天，我们学了同底数幂相除，那么同学们想一想，若是底数不同的情况，应该怎样进行计算呢？
生：可以转化为同底数幂的形式进行计算.
师：大家来计算一下下面两道题.（2）315÷313=315-13=32.
点评？摇 学习环节实现了对学生各种感官参与的调动，并有效地结合了新旧知识之间的联系，使得学生能更完善地建构新知识. 新数学结论的猜想和后续证明，使得特殊到一般这一思想渗透进学习过程，这一方式很符合学生的认知规律，更利于学生对新知识的合理学习.
4.？摇习题训练，应用法则
师：接下来我们进行例题学习.
例1？摇 判断下列算式是否正确，并改正其中有错误的.
（1）a8÷a4=a2；（2）t2n÷tn=t2；（3）m5÷m=m5；（4）-z6÷（-z）2=-z4.
接下来，生答师评，大概讲明（3）的易错点是忘记m的指数为1；另外，（1）（2）的易错点是把指数相除；（4）则应关注符号.
例2？摇 计算：（1）-2）x7÷（-x）3；（3）（a-b）18÷（b-a）7；（4）47÷83；（5）（a+b）18÷（-a-b）7.
例2让学生分批板演，重在考查学生对底数为多项式、单项式等方面的计算和独立运用法则的能力，教师及时组织学生讨论，并结合学生的计算情况对其错误进行评析，使得学习过程更为系统.
师：现在我们回到本节课最初的问题，我们该怎样计算我国人均拥有的水资源量呢？
生：（2.8×1012）÷（1.4×109
师：所以，我们知道我国的人均水资源量约为2000 m3，从这里可以看出，我国虽然是仅次于巴西、俄罗斯、加拿大的淡水资源大国，占全球水资源的6%，但就人均方面来看，仅为世界平均水平的，是世界上13个人均水资源最贫乏的国家之一. 所以，作为祖国未来的建设者，我们应从小争当节水的主人.
点评？摇 在此环节的数学教学中，教师创设有效的问题是整个教学训练的前提，教师应当认识到所选题目质量的高效性，题目不是越难越好或越多越好，应讲求适合性，用这种方式避免学生陷入“题海”而重复、机械地训练. 上述教学中，题目的设置由易到难、由浅入深，呈现出了问题的变化形式，有效结合了知识点，采用了以练为主、讲练结合的形式，更注重对学生以往知识的整合. 教师给予有效反馈，并非以往教学中的简单判断正误，教者的课堂把握比较到位、恰当，注重引导学生寻找错误原因等，这种方式有助于培养学生判断、交流等能力，更利于提升学生的自身体验，利于后续学业的完成.
结束语
(江苏省南京外国语学校，210008)
当前初中数学复习课教学中存在着两大误区：一是“老调重弹”，把复习课上成了“炒冷饭”；二是“题海战术”，把复习课上成了习题课。复习，是指为了恢复或强化头脑里形成的暂时神经联系，对已学过的知识进行重新学习；但是，这种重新学习不是简单重复，不是机械运用，甚至不是单纯的查漏补缺。
笔者认为，复习是一种更高层次的“再认识”，要有更多“温故而知新”的内涵。复习教学，要激发学生参与课堂、展示自我的积极性，引导学生进行知识的归纳整理、方法的提炼升华，同时提高思维与能力，达到融会贯通的目的。此外，从方法层面看，复习教学应该采用启发式——探究式和讲授式都不合适。下面，以苏科版初中数学七年级下册第八章《幂的运算》的复习课为例，谈一谈笔者的做法。
一、寻找知识联系，构建知识体系
课始，先让学生回顾本章所学的基本知识：梳理幂的运算性质时，不是简单地写出公式，而是从名称、符号表示、文字叙述及推导过程四个方面进行整理；由此，体会幂的运算性质与乘方的定义之间的联系，自然地根据正、负整数指数幂联想到积、商的乘方；进而，梳理10的正、负整数指数幂与进位制的关系，完善科学记数法，并引出新的长度单位。 联系丰富而又源流明确的认知结构，是迁移应用的基础。上述教学中，教师引导学生结合“情境”进行回顾、梳理，对各部分知识间的联系有了更深的感受和理解，自然地构建出有血有肉的知识体系。如果单纯地由教师罗列知识框架，而省略学生的思维过程和学习体验，则无法有效地提升学生认知结构的巩固度。
二、辨析错误案例，认清知识本质
回顾完基本知识后，教师呈现如下两道辨析题：
在学生解答的过程中，教师追问：(1)这些式子的每一步做的是什么运算？应使用哪个运算性质？(2)运算性质使用得对吗？为什么？(3)正确答案是什么？由此，引导学生思考、交流、辨析，进而牢固掌握幂的运算性质这一核心知识。
清晰而正确的认知内容，是迁移应用的保障。上述教学中，通过对学生作业中具体的、反面的案例的辨析，间接渗透对抽象的、正面的知识的复习，可以让学生对知识的理解更加深入、立体，从而消除模糊或错误的认识，进一步认清知识的本质。此外，以明确的、由简单到复杂的问题作为驱动，可以最大限度地调动学生的积极性，激活学生的思维。如果单纯地由教师讲解，让学生聆听，则无法有效地提升学生认知结构的清晰度。
三、正确解决问题，提炼思想方法
辨析完核心知识后，教师呈现如下两组练习题：
学生解答后，教师组织全班交流解题过程和结果。由此，教师引导学生说出解题的思路和依据并进行比较，使学生发现解决问题的基本方法：(1)对第一组题，不管底数是数、字母、还是式子，都要先统一底数，再运用同底数幂的乘法法则；统一底数时，可能要用到积或商的乘方法则、负指数幂的意义等知识。(2)对第二组题，可以逆用同底数幂的乘法法则、积的乘方法则或幂的乘方法则。
数学思想方法，是重要的程序性知识（认知策略），是数学学习认知和迁移应用的“引路人”，是数学能力和素养的集中体现。上述教学中，第一组题可以很好地引导学生认识转化和整体思想的价值，第二组题可以很好地引导学生认识求异和逆向思维的价值。此外，两组题的设计从具体到抽象、从简单到复杂不断变化，可以很好地反映出一类问题的多个方面，体现出思想方法“以不变应万变”的价值，也可以引导学生有层次地进行比较、概括。因此，解题教学不能“就题论题”，而要从思想方法的高度上提升学生认知结构的概括度。
首先，导入环节，从学生原有认知结构提出问题，拉紧注意之弦，上课铃响后，可能还有一些学生仍沉浸在课间愉快的玩耍中，个别对数学不感兴趣的学生则以比较慵懒的状态来迎接老师，还有的昏昏然不知道要上什么课，这时教师以矫健的步伐走进教室，并迅速走到学生中间。以迅雷不及掩耳之势对学生进行提问：“在小学我们已经学习过a・a，记作a2，读作a的平方(或a的二次方)；a・a・a记作a3，读作a的立方(或a的三次方)；那么，a・a……a(n个a，n是正整数)呢?在小学对于字母a我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数。那么a还可以取哪些数呢?请举例说明。”连续两个快节奏的问题下来，教室里已站立了好几名学生，其余的学生向站着的学生行注目礼，而只有少数充分准备好的同学回答对了问题，大大舒了一口气坐下去，一下子就像秋风扫落叶似的，大家心底起了一丝凉意，肌肉、精神都紧张起来，全都打起精神迎接老师的提问，并暗下决心。以后上数学课前要认真预习，就这样，两三分钟下来，学生的注意力被调动起来，以充沛的精力、饱满的情绪进入新课的学习。
接下来，我们知道，再好的二胡拉久了也要换弦，上了十几分钟课，乘方的概念讲完了，部分学生的注意力也开始涣散，这时教师要与学生进行语言、表情、肢体等方面的交流，提高学生注意力，使他们保持良好的学习状态，教师走到学生中，不经意又有目的地迅速点一名成绩比较差的学生提问：“请你复述一下老师刚才提的问题。”这时他肯定答不出，教师再迅速提问另一个开小差的学生：“请你将例4的题目念一下。”(事实上这节课的知识根本就没有例4)他手忙脚乱地找了一阵之后就会发现没有，于是在大家的笑声中，学生马上意识到刚才是不是走神了呢?很快地，全班学生又开始收紧注意之弦来认真学习，然后，教师迅速给出三组计算题(题略)让学生计算，并引导学生观察、比较、分析这三组计算题中底数、指数和幂之间有什么关系。
1 横向观察：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数i零的任何次幂都是零。
2 纵向观察：互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。
3 任何一个数的偶次幂是什么数?任何一个数的偶次幂都是非负数。
你能把上述结论用数学符号语言表示并板书吗?其间，教师十分亲切、自然地对四五名学生进行提问，听取他们的想法，并给予适当的鼓励和表扬，这样既有效调动了学生思考问题的积极性，也有效提高了学生的注意力。
然后学生自行完成以下练习：(1)(-3)2，(-3)3，[-(-3)]5；(2)-32，-33，-(-3)5。
教师先要求3名学生上台做，再进行点评，这样反复强调，可加深学生对乘方知识的理解，也能拉长学生的有意注意时间。
最后，内容都讲完了，学生绷紧的神经可能又放松下来，准备下课，此时，教师点名让学生再回忆，做出小结：1 乘方的有关概念；2 乘方的符号法则；3 括号的作用。