时间：2023-09-29 00:47:17
【关键词】 双树复小波 多聚焦图像 融合 最优分解层数
一、引言
现实生活中，一些光学镜头往往不能使同一场景中的多个目标都在同一聚焦区域，这种情况下致使图像不是全面清晰的。这就需要分多次分别聚焦其中某一区域，再对这些图片进行融合处理，得到各个目标都清晰的一幅图片，这张图片对场景描述得比任何单一源图像都更精确、更全面，便于人眼的观察或计算机的后续处理，这一过程就是多聚焦图像的融合。
图像融合的方法与具体的处理对象类型、处理等级有关。这主要是各类图像的解析度不同、表现的内容不同，相应的处理方法也要根据具体情况而定。双树复小波变换（Dual-Tree Complex Wavelet Transform，DT-CWT），不仅保持了传统小波优良的时频局部化分析能力，还具有优良的方向分析能力，能够反映图像在不同分辨率上沿多个方向变化的情形，更好地描述图像的方向性。但是双树复小波分解层数的选择是影响图像融合质量的一大关键性因素，层数选择过少，会降低融合图像的空间质量；选择过大，又会增加融合图像变形的可能性。本文基于双树复小波变换对图像进行融合，并讨论如何对最优分解层数进行选择。
二、基于双树复小波变换的图像融合
2.1 双树复小波变换理论的提出
1822年傅立叶（Fourier）发表了“热传导解析理论”，然而它在时域里无定位性及无分辨率。1946年Gabor提出了Gabor变换，又发展成为短时傅立叶变换（STFT），给信号加一小窗，反映出信号的局部特征。但无法同时适应高频及低频信号的要求，且不能构成一组正交基，给计算带来不便。小波变换继承和发展了STFT的局部化思想，又弥补了Gabor变换的不足之处，但仍存在不具备平移不变性和有限的方向选择性的两大缺陷。Simoncelli在拉普拉斯金字塔结构和可操控滤波器基础上设计提出了复小波变换理论，既能保持平移不变性又具有方向选择性，但它的问题是在超过一层分解时由于输入形式是复数形式，要构造它完整的重构滤波器非常困难。N.G.Kingsbury提出了双树复小波（dual-tree complex wavelet transform，DT-CWT），既满足完全重构条件，又保留了复小波其它的优点，也就是说既保持了传统的小波变换时频局部化的分析能力，还具有近似的平移不变性和良好的方向选择性。[1-3]
2.2 双树复小波变换理论
双树复小波变换（DT-CWT）使用解析的（analytical）复小波函数基。设计一对小波函数和，使其满足Hilbert变换对要求。则由这两个函数分别作为实部和虚部的复小波函数是解析的，其频谱只包含正的高频部分。
图1为二维双树复小波正变换框图。四个方框表示行列可分离的Mallat算法中的滤波器组结构。其中和为对应的低通和高通滤波器，和为对应的低通和高通滤波器。四组系数经线性变换后得到双树小波系数的实部和虚部。每层分解产生12个高频子带（实部和虚部分别计为不同的子带），冗余度固定为4，不随分解层数增大而变化。
图像的双树复小波分解如图2所示，从图中的系数形状也可以看出每个分解层包含了±15°，±45°，±75°6个方向。
综上所述，二维DT-CWT具有近似不变性，良好方向选择性，有限数据冗余性及高效计算效率的特点。
2.3 图像融合
图像融合步骤如下：
（1）将两幅源图像作双树复小波分解，以qshift为滤波器，得到多个分解层，每个分解层六个方向的细节子带图像和最高层的近似子带图像。
（2）根据高低频分量的不同特性，采用不同的融合策略对各个方向的子带进行融合。
（3）利用双树复小波逆变换将融合后高低频域重构出融合图像。
三、分解层数确定方法
基于双树复小波变换的原理可以看出，每一次分解都是对低频近似分量进行的，即进一步刻画图像在低频部分的细节特征。分解层数越多，产生的子带越多，频带划分得越细，层数增加意味着级间的滤波器越多，造成信号移位也越大；另一方面，双树复小波分解合成都要进行边界延拓，层数越多引起边界失真越大。[4]
因此，选择分解层数并不是越大越好。选择合适的分解层数是得到最优融合图像的关键性因素。本文提出了基于多融合质量评价确定最优分解层数的方法。算法流程如图3所示。
图3中设J为分解层数，当J=0时，图像融合在空间域中进行。J值过大，将会引起子图像像素的失真，而得不到多尺度的优势。因此双树复小波分解的最大分解层数应该由输入图像的尺寸决定，如果输入图像的尺寸为N×N，的最大值为：
（1）
四、 融合质量评价
4.1 信息熵
设被评定的融合图像为，图像函数为 ，图像的大小为，为图像总的灰度级。
信息熵（Entropy）简称熵是衡量图像信息丰富程度的一个重要指标，图像的熵定义为：
（2）
式中：EN ----表示图像的熵；
-----表示灰度值为的像素数与图像总像素之比。即：
（3）
反应了图像中具有不同灰度值像素的概率分布。间的关系图即为图像的灰度直方图。
如果融合图像的熵越大，表示融合图像所包含的信息越丰富，融合质量越好。
4.2 互信息量
互信息量 MI（Mutual Information） 反映两个变量之间相关性的量度，或一个变量包含另一个变量的信息量的量度，它的值越大表示融合图像从原图像中获取的信息越丰富，融合效果越好。
设源图像分别为A、B，其灰度值范围分别为[0，a]和[0，b]；融合图像为F，其灰度值范围为。F与A、B的交互信息量分别表示为IFA和IFB。
（4）
（5）
式中，，和分别是A、B和F的先验概率，PAF和PBF分别代表两组图像的联合概率。综合考虑这两个数值取式（6）来表示融合图像F包含源图像A、B的交互信息量。
（6）
4.3 WFQI和EFQI
Gemma Piella和Henk Heijamans[5]提出了无需标准参考图像的图像融合质量客观评价方法：边缘融合质量指标EFQI（Edge-Dependent Fusion Quality Index）和加权融合质量指标WFQI（Weighted Fusion Quality Index）。该指标充分考虑了人类的视觉特性，能够度量两幅图像结构上的失真和评价融合图像中保留了多少显著信息，优于传统的评价指标，且具有通用性。
设两个数组和，用表示的均值， 表示的方差， 表示和的协方差，以此类推。
（10）
（11）
描述和间结构化相似度的评价指标定义为：
（12）
其取值在-1～1之间，值越大表明相似度越大，当两个数组完全相等时值为1。
上述和可以看作是图像的灰度值，由于图像的非平稳性，在处理两个大小相同的图像、时，通常先分块计算局部区域中的指标值，再由局部指标取均值得到总体指标，所以重新定义：
（13）
上式中的是图像中所有窗口组成的集合，即总的窗口个数。本文计算中取窗口大小为7×7。
在总体结构化相似指标的基础上，为了评价源图像、及融合图像这三者之间的关系，构造下面的函数来评价融合图像的质量：
（14）
其中：
（15）
是源图像中窗口的某些显著特征，如对比度、清晰度或熵， 本文计算中采用窗口中系数的方差值。
在计算时，可以对每个窗口赋予不同的权值，从而定义加权融合质量评价指标为：
（16）
其中
（17）
（18）
考虑到人眼的视觉特性，即图像边缘信息的重要性，用梯度范数和分别代替源图像的灰度值和，计算得到，定义边缘融合质量评价指标为
（19）
上式中的用于调整边缘图像对原始图像的贡献，值在[0，1]之间，本文取。
以上评价指标、的值都在[-1，1]之间，值越接近于1，表示融合图像的质量越高。
五、实验分析
5.1实验一：不同源图像同种融合算法的最优分解层数选择
图4、图5均为已配准的多聚焦图像，大小为512×512。根据式（1），最大分解层数为8层。
两图均采用双树复小波分解重构，低频子带基于加权平均，高频子带基于局部能量取大，分解层数从1到8，采用互信息MI、熵EN、加权融合质量指标WFQI、边缘融合质量指标EFQI、空间频率SF作为客观评价标准，结果如表1所示。
（a）左聚焦 （b）右聚焦
图4 源图像mulfocus
Fig.4 original image：mulfocus
表1 两种图像融合质量与分解层数的关系
Tab.1 the relationship between two kinds of image fusion quality and decomposition level
图像 1 2 3 4 5 6 7 8
mulfocus MI 6.8036 6.8474 6.7919 6.8963 7.0867 7.1944 6.7620 6.5323
EN 7.0996 7.0987 7.0952 7.0998 7.1020 7.1083 7.1499 6.7891
EFQI 0.6846 0.8668 0.9035 0.9072 0.9075 0.9075 0.9072 0.5071
WFQI 0.8695 0.9308 0.9419 0.9434 0.9435 0.9435 0.9432 0.6428
clock MI 6.8551 6.7784 6.8358 6.8820 7.0050 7.1834 7.3309 6.4014
EN 6.9914 7.0293 7.0526 7.0640 7.0690 7.0777 7.0652 6.6630
EFQI 0.6303 0.7189 0.7965 0.8119 0.8138 0.8141 0.8142 0.5277
WFQI 0.8636 0.8851 0.9084 0.9154 0.9180 0.9191 0.9196 0.6911
表2 mulfocus不同算法融合质量与分解层数的关系
Tab.2 mulfocus：the relationship between image fusion quality using different algorithms and decomposition level
算法 1 2 3 4 5 6 7 8
第一种
算法 MI 6.8036 6.8474 6.7919 6.8963 7.0867 7.1944 6.7620 6.5323
EN 7.0996 7.0987 7.0952 7.0998 7.1020 7.1083 7.1499 6.7891
EFQI 0.6846 0.8668 0.9035 0.9072 0.9075 0.9075 0.9072 0.5071
WFQI 0.8695 0.9308 0.9419 0.9434 0.9435 0.9435 0.9432 0.6428
第二种
算法 MI 6.8819 6.7704 6.7449 6.7810 6.7985 6.8339 6.8691 6.3916
EN 6.9795 7.0216 7.0402 7.0576 7.0625 7.0663 7.0977 6.6675
EFQI 0.6305 0.7187 0.7946 0.8091 0.8106 0.8109 0.8109 0.5332
WFQI 0.8639 0.8859 0.9102 0.9167 0.9187 0.9194 0.9197 0.6964
本文中所用融合性能评价指标的准则是：对于同一组融合实验，得到的融合图像的互信息量、信息熵、相对较大，边缘融合质量指标、加权融合质量指标更接近于1，则说明该融合方法的性能相对较好。
如表1所示，两组源图像采用的融合算法是相同的，对于mulfocus图像，综合对比各层评价指标，第6层相对较好。对于clock图像，综合对比各层评价指标，第7层相对较好。
由此可见，不同的源图像用同一种算法进行融合，不能盲目确定哪个分解层最好，要结合融合质量评价指标来进行判断。
5.2同种源图像不同融合算法的最优分解层数选择
以图4mulfocus源图像为例，采用两种不同双树复小波分解算法，第一种采用低频基于加权平均，高频基于局部能量取大的融合算法；第二种采用低频基于加权平均，高频基于相似性度量的局部能量取大和加权平均相结合的融合算法。[6]分解层数依然从1到8，结果如表2所示。
如表2所示，根据本文各评价指标的准则，综合分析后，得出第一种算法中最优分解层数为第6层，第二种算法中最优分解层数为第7层。可见，同一组源图像，采用不同的融合算法进行融合，也不能盲目确定分解层数，也要根据评价指标来进行选择。
六、结束语
数的分类
第一种分法
:
树状图
韦恩图
整数
正整数
零
负整数
整数
自然数
负整数
零
正整数
正奇数
正偶数
第二种分法
整数
奇数
偶数
整数
奇数
偶数
第三种分法：
正整数
素数
1
合数
整数
素数
合数
1
一些关于数的结论:
1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数
2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数
3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的
二．整除
1.整除定义（概念）：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a
能被b整除；或者说b能整除a
注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a相当于被除数，b相当于除数
2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数
2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零
注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a能被b整除,则a一定能被b除尽，反之则不一定（即a能被b除尽，则a不一定能被b整除）。如4÷2=2,
4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8,
4能被5除尽，却不能说4能被5整除
三．因数与倍数
1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a
就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。
注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。如：
6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。
2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。
2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。
因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。
3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。
4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……（即正整数）得到的积就是这个数的倍数。若用n表示所有的正整数，则2的倍数可表示为2n,
5的倍数可表示为5n
四．能被2、5、3整除的数的特点
1.能被2整除的数（即2的倍数）个位上的数字是0、2、4、6、8，反之，个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除
2.能被5整除的数（即5的倍数）个位上的数字是0、5，反之，个位上的数字是0、5的数都能被5整除
3.能被3整除的数（即3的倍数）各个位数上的数字之和是3的倍数，反之，各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除
4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0，个位数字为0的数也能被10整除，能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除。
五．奇数、偶数
1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数。（按照能否被2整除来划分奇数与偶数）
2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9
偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、8
3.在连续的正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数，与偶数相邻的两个数是奇数
4.相邻的奇数或偶数数字相差2，奇数可用2n-1或2n+1表示，偶数可用2n表示。
5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点
奇数+奇数=偶数
偶数+偶数=偶数
奇数+偶数=奇数
奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
奇数×偶数=偶数
利用此结论可检验一些运算是否正确，同时也要注意结论的逆向运用，如偶数（奇数）可拆成哪些奇数或偶数的和、积
六.素数、合数
1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（质数），如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的，素数只有2个因数（1和本身），合数至少有三个因数；任何一个数（除1外）都有1和它本身两个因数。
2.
1既不是素数也不是合数。
3．最小的素数是2，最小的合数是4
2.素数与奇数的联系和区别
奇数不一定都是素数。√
（1既不是素数也不是合数，9、15等是奇数但是合数）
所有素数都是奇数。
×（2是素数，但2是偶数）
3.合数与偶数的联系与区别
合数不一定都是偶数。√（9、15等都是合数，但它们是奇数）
偶数都是合数。
×（2是偶数但2是素数）
注意:判断题对的要说明原因，错的要举出反例。
七．素因数与分解素因数
1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
注意：1.求一个数的素因数时，先把这个数分解素因数，有几个素因数就写几个。
如24=2×2×2×3，则素因数是2、2、2、3，而不是2、3
2.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数，素因数一定是素数。一个数的素因数一定是这个数的因数，因数的个数一定比素因数的个数多。
2.分解素因数的方法
树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号，分解要彻底，直到没有合数出现，也不能出现1.
要分解的合数写在等号左边，把它的素因数用相乘的形式写在等号右边，再把这几个素因数按从小到大的顺序排列。
短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除（通常从最小的开始，偶数肯定先用2除，奇数一般从3开始一个个带入验算）
2.得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。
3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
3.由一个数分解素因数求这个数的因数
12=2×2×3，素因数是2、2、3，除1外由单个的素因数组成因数有2、3，由两个素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6，由三个素因数组成的因数有2×2×3=12，所以12的因数有1、2、3、4、6、12.
4.
由一个数分解素因数求这个数因数的个数
(1)
所有素因数都相同时，因数的个数是它素因数的个数+1，如8=2×2×2，素因数是2、2、2，则8的因数的个数是它素因数的个数+1，即4个
(2)
素因数不完全相同时，因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积，如12=2×2×3，素因数2的个数是2，素因数3的个数是1，则12的因数的个数是（2+1）×（1+1）=6
八.公因数与最大公因数
1.
公因数与最大公因数定义:
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.
2.
互素定义：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。如8和9
注意：互素是两个数之间，素数是指一个数，互素的两个数的最大公因数就是1.
两个互素的数未必都是素数。
√（8和9互素，但8和9都是合数）
两个不同的素数一定互素.
√（若缺少“不同的”，则错，因为3和3都是素数但不互素）
3.
求两个数最大公因数的方法：
(1)
一般方法：写出两个数所有的因数，再找出它们共同的最大的因数
(2)
分解素因数的方法：把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，把它们所有的公有的素因数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。
(3)
短除法：先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到两个数互素为止，这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积.(
类比用短除法分解素因数的方法)
4.
两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1.
九.公倍数和最小公倍数
1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.
2.求两个数最小公倍数的方法:
(1)一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数
(2)分解素因数的方法:
把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.
(3)短除法:
先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到两个数互素为止，这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.
注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.
2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数(倍数)关系或互素关系,存在因数(倍数)关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.
3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.
十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数(拓展)
(1)求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.(注意与三个数的最小公倍数区分)
(2)求三个整数的最小公倍数:
一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.
分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.
思考之一：为什么要把0划归自然数。
从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？
0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。
因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？
《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
所谓最大的几位数，最小的几位数，通常也是在非零自然数有范围来说。所以，最大一位数是9，最小一位数是1；最大两位数是99，最小两位数是10；最大三位数是999，最小三位数是100……”
综上所述，“0”虽然是最小的自然数，但仍然不能称为“一位数”，更不能称为最小的一位数。
思考之三：自然数的计数单位还是“1”吗？
大家都知道，0是自然数中最小的一个。0加1得1，1加1得2，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。0可以看成是由0个1组成的自然数。
思考之四：0是其它非零自然数的倍数吗？
《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把0排除在外的。为此，《九年义务教育六年制小学数学》第十册50页明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。
思考之五：0是不是合数？
过去，在教学中，关于自然数的组成，有两种情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及1也组成自然数集合。现在0也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题：0是不是合数？
前面已经谈过了，以后“在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”，但作为一种学术研究，进行探讨也未尝不可。笔者以为，0的约数有无数个，根据《九年义务教育六年制小学数学》第十册中关于合数的定义：“一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。”似乎应该把0划归为合数范围，但仔细一想0是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个约数，如，1是1的约数，2也是2的约数……，而0这个自然数恰恰少了“本身”这个约数，因此，也不能归为合数。试想：假设如果0是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。所以，我主张把0划归为“既不质数，也不是合数”范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确0是不是合数的情况下，还是以回避为好。
思考之六：“任何相邻的两个自然数是互质数”对吗？
数据聚合可以与路由协议进行有效的集成，无线传感器网络中的研究者已经提出了许多数据汇聚型路由协议或者路由机制［78］.工业无线网络环境下对数据稳定性、能量约束的要求高［9］，结合工业无线网络的数据关联性特性，设计数据聚合和路由的集成机制是可行的方案之一.本节结合工业无线网络的聚合功能，使用一种最小聚合树生成的方法设计了簇间数据聚合路由机制.假定工业无线网络中支持某一用户的应用对象为U，支持U的路由设备有m个，记为Ri﹙i=0，1，，m1﹚，支持UAO的现场设备有n个，记为Fi﹙i=0，1，，n1﹚，现场设备Fj的簇首为Cj；由所有支持UAO的路由设备构成的无向图记为G，该工业无线网络的网关记为GW.最小聚合树MCT的生成方法如下：﹙1﹚将网关GW设定为MCT的根节点.﹙2﹚使用Dijkstra最短路算法［10］计算每一个现场设备Fi﹙i=0，1，，n1﹚到GW的最短路径，将该路径上的路由设备集合称为现场设备Fi的最短路径集合，记为RFi.﹙3﹚遍历所得到的路径集合RFj﹙j=0，1，，n1﹚，计算被选的每一个路由设备Rj的出现次数，记为DRj.﹙4﹚以网关GW为起点，以DR最大为目标，采用Prim算法［11］求解图G一个最小生成树，即为该用户应用对象U的最小聚合树MCT.簇间数据融合路由机制设计﹙1﹚路由设备选择采用用户应用对象U的最小聚合树上路由设备作为支持簇间数据融合的路由设备.﹙2﹚聚合节点选择最小聚合树MCT上每一个父节点均为其子节点的聚合节点，逐级将数据聚合后传送给网关.以现场设备Fj为例，其簇首Cj在完成簇内融合后，选择其最小聚合树MCT上的父节点作为它的融合节点，依此类推，逐级融合将数据传送给网关.
2机制实现和仿真实验
2.1机制实现
适用于工业无线网络的簇间数据融合路由机制的实现基于WIA-PA标准﹙IEC/PAS62601﹚，扩展了其路由设备的融合标识，设置了路由设备簇间数据融合标识.该机制的实现过程如下：﹙1﹚网络建立后，主控计算机的WIA-PA网络配置工具软件首先为用户应用对象计算出其最小聚合树，然后将配置信息下发给树上的每一个路由设备，设置簇间数据融合标识.﹙2﹚如果路由设备支持簇间聚合功能，则网络管理者需要根据该应用包聚合的最小数据更新周期为该路由设备配置簇间聚合周期和数据聚合资源.﹙3﹚网关设备将收到的聚合包解聚后，发送给对应的用户应用对象.
2.2仿真实验
本文使用C语言开发了一个仿真平台，对设计的簇间数据聚合路由机制记住进行了仿真实验，仿真拓扑如图4.仿真设定用户应用对象每秒发送1次数据，簇内数据融合周期为4s，簇间数据融合周期为4s.对启用簇间数据聚合路由机制和不启用簇间数据聚合路由机制分别进行了实验.仿真结果显示，启用了簇间数据聚合路由机制后，路由设备转发次数明显降低，转发链路负载明显下载，这表明整个网络的通讯代价被有效降低.如图5所示，路由设备R1的转发次数明显下降，这是因为其DR值较大，实施融合的处理较多.而路由设备R4、R5等的转发次数变化不明显，这是因为R4和R5的DR值只均较R低，说明仅对本簇的数据进行了融合，没有参与簇间数据融合.如图6所示，路由器的转发数据包数在启用域间数据融合路由机制后得以下降，随着支持该用户应用对象的现场设备的增加，下降趋势变大.
3结论
通过对工业无线网络中聚合方式的分析，提出了一种适用于簇间数据聚合的路由机制，该机制引入了最小聚合树，从全局角度为网络节约了传输成本和能源消耗，理论分析和仿真实验结果都表明本文设计的簇间数据聚合路由机制可以有效降低工业无线网络的通信代价.本文没有考虑簇首节点的能耗不均匀问题，这是因为在工业现场，工业无线网络允许某些簇首转发节点为有源供电的.若考虑能耗均衡的问题，本文设计的机制可以通过设置转发周期控制，将最小聚合树上的DR值周期性重新分配来实现.
小组合作学习方式应用效果比较好，第一，通过小组合作学习，可以大大提高学生的数学学习主动性和积极性，在高中数学教学课堂上，教师可以通过问题创设的方式让小组进行交流，增强学生的数学学习兴趣，合作小组就会根据问题内容发表出各自的观点，利于每个小组学生的问题思考，通过小组学生思考观点的综合，可以提高学生的思维创新能力，等小组学生提出各自的问题解决观点之后，就能把小组学生的观点进行统一化，最终就会得到最优化的问题解决方案。在这个过程中，学生的思维创新能力被激发和提高，学生之间的合作能力也得到了增强，最终提升了学生的高中数学学习自信心，提高了学生高中数学学习效率。
二、通过小组合作学习，可以渲染高中数学学习氛围
小组合作学习方式应用效果比较好，通过小组合作学习，可以丰富高中数学教学方式，传统的高中数学教学是比较枯燥的，会使得学生数学学习方式固定化，在传统化的数学教学模式和教学氛围下，学生的思维创新能力得不到有效激发，学生的实践能力也得不到增强。而通过小组合作学习，可以赋予高中数学教学课堂自由性和开放性特点，学生在这种轻松的学习氛围内，其思维创新能力能够得到有效增强，学生的学习方式也会变的多样化和丰富化。另外通过小组合作学习，还可以为学生提高更多的自我展示机会，使得学生发挥出自己的学习优势，当学生消除自卑之后就可以确定自己的学习目标，朝着目标不断进步，最终实现自我学习的价值，提高自己的数学学习成绩。
三、通过小组合作学习，可以提升学生的知识运用能力
小组合作学习对高中数学教学的影响是比较大的，通过小组合作学习，可以提高学生的知识运用能力。高中数学教学的目标就是让学生通过知识点学习，提高学生的知识运用能力和解题能力，通过小组合作学习，可以在潜移默化当中优化学生的思维创新能力和解题能力。另外，在小组学习模式下，学习活动是比较多的，通过小组活动的有效开展，学生还可以在小组学习当中提高自己的知识运用能力，解决与数学有关的实际生活问题，最终实现数学知识和数学实践的有效结合。通过小组合作解题，学生可以通过动手组建相关模型进行解题，在第一个问题解决当中，可以根据模型来明确椭圆和直线之间的具体位置关系，每个小组成员都可以负责每组a,b数值，对“椭圆和直线的位置关系”进行探索和分析，最终通过小组讨论来确定最符合题意的一组数值，在这个解题过程中，每个学生都参与思考，通过想象生活当中有关于椭圆物品和直线之间的关系来进行解题，最终建立二元一次方程组，通过解方程来确定a,b的值，当解决了第一个问题后，才能接着解决第二个问题，学生的思维一直在一种动态状态里面，不仅可以有效培养学生的思维创新能力，还能使得学生把数学知识带到实际生活当中，再把实际生活规律带到题目当中进行解答。
四、结语
一、配方法:主要运用于二次函数或可转化为二次函数的函数解题过程中要注重自变量的取值范围
例1 已知函数y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,a≠0),求函数y的最小值.
分析:将函数表达式按ex+e-x配方,转化为关于为变量ex+e-x的二次函数
解:y=(ex-a)2+(e-x-a)2=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2,
令t=ex+e-x,f(t)=t2-2at+2a2-2,
t≥2,f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定义域2,∞,抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,当a≤2且a≠0时,ymin=f(2) =2(a-1)2当a>2时,ymin=f(a)=a2-2.
评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围.和对称轴与区间的相对位置关系.
二、不等式法.运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正二定三相等”
例2 求函数y=ax2+x+1x+1(x>-1且a>0)的最小值.
解:y=ax2+x+1x+1=ax+ax+1+(1-a)=a(x+1)+ ax+1+1-2a≥ 2a(x+1)ax+1+1-2a=1当a(x+1)=ax+1,即x=0时等号成立,ymin=1.
三、换元法.主要有三角换元和代数换元换两种.用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围
例3 求函数y=x+1-x 的最大值和最小值.
解一:先求定义域得0≤x≤1令x=sin2θ θ∈0,π2, y=sinθ+cosθ=2sinθ+π4
π4≤θ+π4≤3π4,
当θ=0或π2时,ymin=1,当θ=π4时,ymax=2.
解二:令x=u∈0,1,1-x=v∈0,1,
u2+v2=1(u≥0,v≥0)则y=u+v即v=-u+y 由直线方程斜截式纵截距的几何意义知:.ymin=1,ymax=2.
例4 求函数y=1+x-2x2+x3+x41+2x2+x4的最大值和最小值.
解:f(x)=1-2x2+x41+2x2+x4+x+x31+2x2+x4=1-x21+x22
+x1+x2
令x=tanθ2,则f(x)=f(θ)=cos2θ+12sinθ=-sin2θ+12sinθ+1=-sinθ-142+1716
当sinθ=14时,f(x)max=1716当sin=-1时,f(x)min=-12.
四、数形结合法.主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值
例5 已 知x2+y2-2x+4y-20=0求x2+y2 的最值.
分析:本题已知条件转化为(x-1) 2+(y+2)2=25,可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借助几何图形数形结合处理.
解:作x2+y2-2x+4y-20=0的图形,它是圆心在P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x2+y2=2x-4y+20,设x2+y2=z,则z=2x-4y+20即y=12x+20-z4,其图形是斜率为12且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题.由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即2×1-4(-2)+20-z22+(-4)2≤5即30-z≤105故30-105≤z≤30+105,故z1=30-105为最小值,z2=30+105 为最大值即x2+y2最大值30+105最小值30-105.
五、函数的单调性法.先判明函数给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值
例6 已知函数f(x)定义域R,为对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)且x>0时f(x)
解:令x1=x2=0,则f(0)=f(0)+f(0) f(0)=0, 令x1=x, x2=-x则f(x)+f(-x)= f(0)=0 f(x)=-f(-x), f(x)为奇函数.
设x1,x2∈R,且x10, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
f(-3)=6,当x=3时,f(x)min=f(3) =-6.
六、判别式法.主要适用于可化为关于x的二次方程的函数,当x的范围是R时,仅考虑Δ即可,当x的范围非R时,还需要结合图形另解不等式.
例7 求函数y=x+x(2-x)的最大值和最小值.
解:y-x=x(2-x)两边平方整理得:2x2-2(y+1)x+y2是=0,x是实数Δ=4(y+1)2-8y2≥0解之得1-2≤y≤1+2;此外由x(2-x)≥0得0≤x≤2于是y=x+x(2-x)故0≤y≤1+2,故ymax=1+2,ymin=0.
评注:此题在解的过程中历经平方变形,从而扩大了的取值范围,故利用判别式求出的范围后应综合函数的定义域,将扩大部分剔除.
七、导数法.设函数f(x)在a,b
上连续在a,b上可导,则f(x)在a,b上的最大值和最小值应为f(x)在a,b内的各极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值.
例8 动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点,o为原点,op2当x=2时取得极小值,求,op2的最小值.
解: op2=x2+y2= x2+(x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1.令c= x4-4x3+3x2+4x+1,则 f′(x)=4x3-12x2+6x+4=4(x-2)x-1+32x-1-32,令f′(x)=0得:x=2, 1+32,1-32.
因定义域为,故所求最小值为两个极小值中较小的一个, f(1-32)=11-634,f(2) =5,故f(x)的最小值即op2的最小值为 11-634。
以上就是本文整理出的有关于求函数最值问题的几种解法。当然解函数最值问题的方法不止这些,例如:二次函数法,反函数法等等。这里只是对求最值问题的方法作部分的归纳,具体的方法还有待读者去进一步的发现和总结。由于最值问题的解题方法的灵活多样性,所以教师在对最值问题的教学活动中,应重视思想方法的渗透,把建构和发展学生数学思维作为教学活动的一项重要任务。
一、整式(一次、二次)函数为背景的数列
例1 等差数列{an}中，a1
解：S9=S12，
S12-S9= a10+ a11 +a12=0，
3 a11=0，a11=0。
又a1
数列{an}是首项为负的递增数列，因此数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值，
n=10或11时，Sn取最小值。
评注：一般地，等差数列{an}，若a1>0，d
二、无理根式函数为背景的数列
例2 函数 ，数列 满足 ，（ ）。（1）求 ；（2）判断 的单调性并求 的最小值。
所以 为递增数列，
的最小值为 。
评注：注意隐含条件an
三、反比例函数为背景的数列
例3 已知an= (n∈N)，在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是________
解： an= =1+
数列中的项是函数f(x)= 1+ 上的一个个孤立点，而f(x)的图像是由y= 右移 个单位再上移一个单位得到的，因此f(x)在 上是减函数，在( ,+∞)上也是减函数，从而可知当n=9时an最小，n=10时an最大。
最大项和最小项分别是a10，a9。
评注：注意背景函数的图像特征，数形结合求解是本题的关键。
四、分式函数y=x+ (x>0,a>0)为背景的数列
例4 已知数列an= (n∈N)，则该数列中的最大项是第几项？
解：由an= 得an= ，联想函数y=x+ (x>0)知函数在(0， )上为减函数，在( ，+∞)上为增函数。当且仅当x= 时，函数取最小值。而n∈N，要使n+ 的值最小，应使n=[ ]。通过计算验证，可得n=12或13时，an最大。
a12=a13为数列中的最大项。
五、混合型数列
例5 数列 满足 ，求 中的最大项和最小项。
中的最大项为a4，最小项为a1。
六、求和为背景的数列
例6 已知Sn=1+ (n∈N),记an=S2n+1-Sn+1,求数列{an}的最小值。
解： an=S2n+1-Sn+1= ，
则an+1-an= > = >0
an+1>an,
{an}为递增数列，{an}的最小项为a1= 。
七、求积为背景的数列
例7 已知 =2n-1，若不等式(1+ )(1+ ) ≥k 对一切 都成立，求k的最大值。
解：题设知k≤(1+ )(1+ ) / 对一切 都成立，令F（n）=(1+ )(1+ ) / ,
则F（n+1）=(1+ )(1+ ) (1+ )/ ，
F（n+1）/ F（n）=(1+ ) / = >1，
F（n+1）> F（n），F（n）为正整数集上的增函数，F（n）≥F（1）= ，
k≤ ，k的最大值为 。
评注：作商判定数列的单调性是本题求解的关键。
八、自然数数列中的最值
例8 已知正整数 满足下列两个条件：⑴ ，⑵ ，求 的最大值。
解：为使 尽可能大， 尽可能小，故 分别为 ，
另一方面，为使 尽可能大， 应尽可能接近 ，
设 =x，则 ，解得x=192。
所以 的最大值是192。
九、对数函数为背景的数列
例9 已知数列 满足 =求其最大项。
故 的最大项为a2=log23。
一、教材分析
1.本单元内容的地位和作用
本课题选自苏教版高中《化学2（必修）》专题一第一单元“原子核外电子排布与元素周期律”的内容。本单元内容在教材中所处的地位和作用：
通过初三和必修I的学习，学生已经基本具备了一定的无机化学基础知识。例如，初三学习的原子的构成、核外电子排布、元素周期表简介等一些基本的物质结构知识，这些为本单元的学习奠定了一定的基础。在本单元中，这些知识将更加细化，理论性更强，体系更加完整。通过《元素周期律》的学习，可以使学生对于所学元素化合物等知识进行综合、归纳。同时，作为理论指导，学生能更好地把无机化学知识系统化、网络化。在物质结构的基础上，将元素周期表的学习和元素周期律的学习结合起来，将学生在初中和必修I中所学习的氧化还原反应和许多元素化合物的知识融会贯通。总之，本单元的内容既是必修的重要理论内容，可为今后有志深入学习化学的同学打下一定的基础。
2.对教学内容的分析
元素周期律是高中化学的基础理论内容，但是元素性质的周期性变化可以从资料进行分析而得出，所以要注意激发学生的学习主动性，让学生去分析图表、资料获取信息。具体来说，原子的最外层电子数、原子半径的周期性变化可通过表格和函数图像来呈现。元素周期律反映的是原子的最外层电子数、元素的化合价、原子半径、元素的金属性非金属性的周期性变化，而元素性质的周期性变化的根本原因是原子的核外层电子排布的周期性变化。所以，要引导学生利用前一课时所学的原子结构知识来探究元素周期律的本质原因，强化“结构决定性质”这一重点。
3.教学目标和教学重、难点
基于对教材结构和内容的深刻理解，结合《高中化学课程标准》的说明，确定了三维教学目标：
（1）知识与技能目标：能结合有关数据和实验事实认识元素周期律。
（2）过程与方法目标：通过图表来呈现原子的最外层电子数、原子半径的周期性变化。
（3）情感态度与价值观目标是本节课的重点，该目标的主要内容是理解元素原子核外电子排布、原子半径、元素的主要化合价周期性变化规律，并且能够梳理它们之间的联系。
二、教学过程
生活中计时，一天以小时为序排列体现周期性，我们今天要学习的内容是元素周期律，那么，元素以什么为序排列表现出周期性呢？我们在《化学1》中学习过许多元素化合物的性质，它们之间是否有规律？这一规律是否就是周期性变化呢？
由于目前我们已经发现的元素有一百多种，为了研究方便，人们习惯上对元素进行编号。由于在化学反应中原子核是不会变化的，所以人们按核电荷数由小到大的顺序进行编号，这种编号称为原子序数。
提问：根据原子序数的规定方法，该序数与原子组成的哪些粒子数有关系？有什么关系？
板书：元素周期律
原子序数=核电荷数=质子数=原子核外电子数
1.最外层电子排布的周期性变化
提问：从课本第2页图1-2核电荷数为1-18的元素原子结构示意图，你认为原子核外最外层电子排布随原子序数的递增有什么规律性的变化？同时可以参照课本第3页图1-3以核电荷数为横坐标最外层电子数为纵坐标的变化规律。
板书：随原子序数的递增原子核外最外层电子排布呈现周期性变化。
过渡：元素原子的最外层电子数决定了什么？与哪些化学性质有关呢？
2.元素化合价的周期性变化
提问：仔细观察课本第6页表1-5：11～17号元素的最高正化合价和最外层电子数，已列在此表上，思考：元素的最高正价与什么有关？再结合表1-4元素的最高正价与最低负价之间有什么联系？
板书：元素的最高正价=最外层电子数（O、F及稀有气体元素除外）
元素的负化合价（非金属具有）=8-最外层电子数
小结：随着原子序数的递增，元素的化合价呈周期性变化（+1+7、-4-1）。元素原子的最外层电子数决定元素的主要化合价。
结论：随着原子序数的递增，元素化合价呈现周期性的变化。
3.元素原子半径的周期性变化。
（学生观察课本第4页表1-2原子序数为3～9和11～17号元素的原子半径数据）
提问：从表中的数据看，你认为元素原子半径随原子序数的递增呈现什么规律性的变化？（稀有气体元素的原子半径暂不考虑，因为稀有气体的原子半径的测定方法与其他元素原子半径的测定方法不同）
小结：当原子的电子层数相同时，随着原子序数的递增，元素原子半径呈周期性变化。（由大到小）
结论：随着原子序数的递增，元素原子半径呈现周期性的变化。
提问：元素的原子的大小由什么来决定呢？原子是一个实心的球吗？请回顾上学期所学知识。
小结：原子的大小（即原子半径的大小）由电子的运动区域来决定。元素的原子的半径随着电子层数递增而增大；电子层数相同的元素的原子半径随着电子数的递增而减少。
提问：当原子的电子层数不同而最外层电子数相同时，你认为元素原子半径随原子序数的递增会呈现什么规律性的变化？
（元素原子半径会随原子序数的递增而逐渐增大。）
提问：当原子的电子层数相同时，为什么随着原子序数的递增，元素原子半径会逐渐减小？元素原子的半径大小受哪些因素的影响呢？
小结：当原子的电子层数相同时，元素原子的半径大小主要取决于原子核对外层电子的引力大小。随着原子序数的递增，原子核所带的正电荷数逐渐增大，核外电子所带的负电荷数也逐渐增大，两者之间的引力也在逐渐增大，所以原子半径逐渐减小。
板书：半径比较的规律：
（1）最外层电子数相同时，电子层数越多，半径越大；
（2）原子电子层数相同时，原子序数越大，半径越小。
小结：学习了随着原子序数的递增，原子的最外层电子数、主要化合价及原子半径的变化规律，为我们下一节课学习元素周期律打下基础。原子半径能够影响元素的哪些性质？下堂课我们将继续学习。
4.布置作业
元素周期律的有关练习。
三、教学反思
对科学本质教育的探讨多是将科学本质要素贯穿于具体知识教学中。在教学设计中，先让学生在前1个课时通过对元素性质和原子结构关系的探究，归纳出元素原子结构决定元素性质。元素周期律主要包含随着原子序数的递增，原子的最外层电子数、主要化合价、原子半径及元素的金属性和非金属性的周期性变化规律。通过学习探究元素的本质：原子结构与元素性质之间的关系，元素周期律和其所蕴含的科学本质要素都是教学的重点、难点，这种处理还能够有效分散教学难点。用好苏教版必修2教材中的图表，引导学生如何用好教材，方便学生理解。
对元素周期律的正确认识（元素的性质随着元素原子序数的递增而呈周期性变化）是学生要掌握的一个重要内容，是化学学科的重要规律，对指导元素化合物学习有着重要作用，在教学中必须重视。