如何用垂径定理解有关圆的问题

圆是中考考查的一个重点，而垂径定理又是圆中的最重要的定理之一，也是中考常考的一个重要知识点。在圆这一章，有很多的性质、定理等都直接或间接地与圆中的弦有联系，所以很多看似很难的题目都可以转化为利用垂径定理来解决。

如图，在O中，①CD为O直径，

②CDAB，③AH=BH，④AC=BC，⑤AD=BD，这五个条件中，只要知道其中的两个条件，我们就可以推导出其余的三个条件。由①②推③④⑤，是垂径定理的基本内容，而其余的则是垂径定理的推论。不过值得注意的是：

①③推②④⑤的时候，其中弦AB不能为直径。即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理在圆中的应用相当广泛，在这里我仅归纳了一些我们常见的类型供大家参考。

一、垂径定理的直接应用

例1.（2006 南京）如图所示，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于点G，B，F，E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=_____cm。

分析：本题表面上看是圆和矩形之间的联系，但从求线段EF的长来看，EF不仅仅是矩形一边上的一部分，更重要的是，要看出EF是圆中的弦。既然EF是圆中的弦，那么马上想到了垂径定理，此时只要过点O作OHEF，构造矩形AOHD即可解决问题。

变式：（2006 扬州）如图所示，已知O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，若正方形的边长为2，则O的半径为_____。

分析：通过观察，可以发现：AB不仅是正方形的一条边，同

时也是圆中的一条弦，故可利用垂径定理来解题。但本题仅利用垂径定理这一个知识点还是不够的。因为我们无法计算出弦心距的长，此时，还要利用到题目中的一个已知条件：CD与O相切，进而利用方程来解决。

二、垂径定理在两解问题中的应用

圆中的两解问题是很多学生的难点，细细研究不难发现，圆中有许多两解问题都离不开垂径定理的影子。

例2.（九上88页第9题）O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB、CD间的距离。

分析：本题已知两条弦的长，要求两条弦之间的距离，实质就是求两弦心距的和或差。要求弦心距，则自然而然地想到通过构造基本图形（直角三角形）来解决问题。

但本题的难点是要考虑两解，为什么会是两解呢？这时不得不提到圆是一个轴对称图形，故利用圆的轴对称性可知，AB、CD可在圆心的同侧，也可在圆心的两侧，因此是两解。

此题不妨可引申：怎样修改题目可让本题是一解呢？也就是说，即使通过圆的轴对称性来观察，在圆的对称位置上的情况也是一样的。此时，只要让其中的一条弦为直径即可。（如：AB=26cm）

例3.已知O1和O2的半径分别为13cm和15cm，两圆相交于A、B两点，AB=24cm，求O1O2的长。

分析：本题考察的是相交两圆的知识点，对于相交的两圆，我们经常作的辅助线是连心线，因为连心线垂直平分公共弦。

但本题换个角度来思考，则会发现：对O1而言，AB是O1的弦；对O2而言，AB又是O2的弦，故我们又可从垂径定理的角度来思考本题，那么O1O2的长即为两圆弦心距的和或差，这时我们又可构造垂径定理中常用的基本图形（直角三角形）。对于另一种情况，同样是从圆具有轴对称的角度来理解。

通过这两道题目，我们不难发现，圆中的多解问题与圆的轴对称性是分不开的。

三、垂径定理在圆与正多边形中的应用

圆与正多边形这一章节，教科书中是单独列出讲解的，但我认为，其中有关正多边形的边长的计算，实际上就可以看作是圆内有关弦的计算，同样可用垂径定理来解决。在这一章，常常将圆和正三角形，正方形以及正六边形联系在一起。如：

例4.（九上课本107第3题）要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？

分析：本题是一道实际问题，考察的知识点是正方形与圆的有关知识。

正方形的边CD实际上可看作O中的一条弦，在圆中，看到圆中的弦，我们很自然地会和垂径定理联系起来，通过构造直角三角形来解决，而本题中出现了正方形，也就是赋予了直角三角形45°的特殊角，这样本题自然而然就解决了。

对于圆的内接正三角形和正六边形，我们都可以用类似的方法来解决。只不过对于不同的圆内接正多边形，赋予了直角三角形不同的特殊角。

当然，垂径定理的应用还远远不止这些，在这里我就不一一列举，但是不管题目如何变换，我们只要掌握了垂径定理适用的基本前提条件，在解题时能从复杂图形中抽象出基本图形，通过以不变应万变，那么在解题时则会游刃有余，得心应手。