随机利率情形下多种股票的算术亚式看涨期权定价

摘要：文章在随机利率情形下讨论了含多种股票投资的欧式未定权益定价问题。文章首先利用鞅方法给出了当投资于一种债券和多种股票且各自价格过程不完全互相独立时的算术平均执行价格型亚式看涨期权的定价公式。

关键词：随机利率；亚式看涨期权；鞅

一、模型提出

利率是否随机，可以通过债券价格的变化过程来表示。一般而言，常见的讨论未定权益定价的模型都将债券看做无风险的，即债券利率为无风险利率，是非随机的。而本文中构成未定权益的证券组合选择的是股票和零息债券。其中，零息债券B（t，T）在到期日T时价格为1，到期日之前的价格为Ft适应过程，且满足

dB（t，T）=B（t，T）[r（t）dt+b（t，T）dW（t）]，

B（T，T）=1

其中{W（t），0?t?T}为完全概率空间（Ω，F，P）上的标准布朗运动，{Ft，0?t?T}为{W（t），0?t?T}产生的自然σ-流（即信息流）。B（t，T）的取值与到期日T和之前的任意时刻t的取值相关，只有到t时刻才可知，事先不可准确预测，因此其利率表现为随机状态，与非随机利率中债券价格明确为时间t的确定性函数不同。

考虑模型（A）：设在金融市场中一投资组合包含一种零息债券和n种股票，其中债券价格遵循

dB（t，T）=B（t，T）[r（t）dt+b（t，T）dW1'

（t）]，B（T，T）=1①

股票价格是n维It?过程，且满足随机微分方程

dS（t）=S（t）[μ（t）dt+σ（t）dW'（t）]，S（0）

=S0②

其中{W1'（t），0?t?T}，{W'（t），0?t?T}分别是定义在完全概率空间（Ω，F，P）上的一维和n维标准布朗运动，且W'（t）=（W2'（t），W3'（t），…Wn+1'（t））T。并有d〈W1'（t），Wi'（t）〉t=ρ1i（t）dt（0?|ρ1i（t）|

令 W1'（t）=W1'（t），Wi'（t）=（2?i，j?n+1，i≠j）

则有d〈W1'（t）Wi'（t）〉t=0，d〈Wi'（t）Wj'（t）〉t=0 （2?i，j?n+1，i≠j）因此有设W（t）=（W1（t），W2（t），…Wn+1（t））T，则W（t）为概率空间（Ω，F，P）上的标准n+1维布朗运动，从而模型（A）转化为模型（B）：

dB（t，T）=B（t，T）[r（t）dt+（t，T）dW（t）]，

B（T，T）=1③

dS（t）=S（t）[μ（t）dt+（t）dW（t）]，S（0）=S0④

其中（t，T）=（b（t，T），0，…0）1×（n+1），（t）=（σij（t）ρ1（j+1）（t），σi1（t），…σin（t））n×（n+1）（1?i?n）

假定{Ft，0?t?T}为{W（t），0?t?T}产生的自然σ-流（即信息流），即Ft=σ（W（s），0?s?t?T）。

定义1 设a（t）=（a1（t），a2（t），…，an（t）），b（t）分别为投资者t时刻持有股票和债券的数目，称交易策略{a（t），b（t）}为自融资交易策略，若其财富过程V（t）=a（t）S（t）+b（t）B（t，T）满足

dV（t）=a（t）S（t）+b（t）dB（t，T）+a（t）[S（t）]q（t）dt⑤

注：当红利率q（t）=0，a（t）为一维向量时， 定义1即为文献[1，2]中给出的自融资交易策略定义。

引理1 令（t）=V（t）B-1（t，T），则（t）可以表示为Ft鞅。

证明：令（t）=[exp（q（s）ds）]S（t），则V（t）=a（t）[exp（-q（s）ds）]（t）+b（t）B（t，T）

其中[exp（-q（s）ds）]?diag{exp（-q1（s）ds），exp（-q2（s）ds），…，exp（-qn（s）ds）}，再令（t）=（t）B-1（t，T），+（t）=V（t）B-1（t，T）则d（t）=a（t）[exp（-q（s）ds）]d（t）⑥

d（t）=[（t）][（t）-1nb（t，T）]d（t），⑦

其中[（t）]?diag{1（t），2（t），…，n（t）}，（t）=W（t）+θ（s）ds，θ（t）是以下方程组的解：

（σij（t）ρ1（j+1）（t）-b（t，T））θ1（t）+σi1（t）θ2（t），…σin（t））θn+1（t）=（b（t，T）-σij（t）ρ1（j+1）（t））b（t，T）+μi（t）-r（t）（1?i?n））

因为只有n个方程，而θ（t）有（n+1）个分量，所以方程组的解不只一组。

因此知，存在一个与P等价的概率测度Q满足|Ft=exp{-θ（t）dW（t）-θ2（t）dW（t）dt}

由Gisanov定理知随机过程（t）在Q下是标准布朗运动，其产生的自然域流同样也是Ft，由此可得（t）及（t）均为概率测度Q下的Ft鞅，进一步得到

Vt=B（t，T）EQ[V（T）Ft]，B（T，T）=1⑧

二、该模型的算术亚式看涨期权定价

亚式期权出现于上世纪90年代，是奇异型期权的一种，其本质是一种创新的欧式期权，在现代金融市场中有着广泛的应用。亚式期权与欧式期权的相同点在于两者都规定投资者只有在到期日T才能选择执行期权和约。而不同点在于，亚式期权的收益取决于合约有效期[0，T]内的金融资产的平均价格A（T），用A（T）代替欧式期权中决定期权收益的执行价格K或到期日标的资产的价格S（T），并据此来决定是否执行期权及执行期权产生的收益。A（t）的表达式为：A（t）=S（u）du。根据代替对象的不同，亚式期权可分为平均执行价格型期权（Average Strike Option）和（Average Rate Option）平均价格型期权。前者用A（T）代替K，可保证合约有效期内多次购买标的资产所支付的平均买价低于最终价格，或保证有效期内多次卖出资产所获得的平均售价高于最终价格；后者用A（T）代替S（T），以规避在合约有效期内因频繁交易资产而产生的价格风险。本文定义的是算术平均执行价格型亚式看涨期权，改进了③、④的结论。

由⑥式和⑦式可得在P下，（t）对（t）满足倒向随机微分方程σμ

d（t）=ai（t）exp（

-q（s）ds）

i（t）[μi（t）+qi（t）

-r（t）+（

（t，T）-

i（t）

（t，T）T）dt+（

i（t）

-

（t，T））dW（t）]

（t）=Φ（

i（T）） ⑨

令zi（t）=ai（t）exp（-q（s）ds）i（t）-（t，T））且由引理1可知

（t）=（t）B-1（t，T）=ai（t）exp（-q（s）ds）i（t）+b（t），所以⑨式变为

d（t）=[

（（t）-b（t））（μi（t）+qi（t）-r（t））-zi（t）

（t，T）T]dt+zi（t）dW（t）

（t）=Φ（

i（T））⑩

令M（t）=S（u）du则关于i（t）的算术平均执行价格型亚式看涨期权的价格满足：

d（t）=[

（（t）-b（t））（μi（t）+qi（t）-r（t））-zi（t）

（t，T）T]dt+zi（t）dW（t）

（t）=（

i（T）-

）+11

易证得方程11满足BSDE存在唯一解的条件，即该亚式看涨期权可完全被套期保值。

对于欧式看涨期权，其在t时刻的价格，将由t时刻的股价i（t）唯一确定。而对于算术平均执行价格型亚式看涨期权，可以证明其在t时刻的价格须由i（t）和股票在[0，T]上的股价平均值Mi（T）共同决定。考虑如下随机微分方程组

d

i（s）=

（s）[（μi（s）+qi（s）-r（s）+（

（t，T）-

（σi（s）

（t，T）T）ds+（σi（s）-

（t，T）dW（s）]

i（t）=x ，t?s?T

Mi（t）=Mi12

其中x为t时刻i（t）的价格，Mi表示第i只股票在[0，t]时期内的股价平均值。对由11、12构成的正倒向随机微分方程，为得到（t）的概率表示，需引入引理2。

引理2 由引理1知在Q下股票价格过程i（t）满足

di（s）=（（σi（s）-（t，T））d（s），t?s?T13

过程（t）满足d（t）=ai（s）exp（-qi（u）du）i（s）（σi（s）-（t，T））d（s），t?s?T14

定理1 算术平均执行价格型亚式看涨期权在t时刻的价格（t）可以表示为

（t）=EQ

i（T）

-+，15

且有V（t）=B（t，T）EQ[（i（T）exp（-qi（s）ds）-）+]16

证明：由引理2有（T）-（t）=ai（s）exp（-qi（u）du）i（s）（σi（s）-（t，T））d（s）

对上式两边取条件期望，及对i（t）使用Tt?公式并代入，得（t）=EQ[i（t）exp（-|i（s）-（t，T）|2ds+|i（s）-（t，T）|d（s））-）+]=EQ[（i（T）-）+]， 代入引理2，可得算术平均执行价格型亚式看涨期权V（t）=（Si（T）-）+在t时刻的价格为16式所示结果。

参考文献：

1.Yan Jiaan. Introduction to martingale methods in option pricing [M].Liu Bieju Centre for Mathematical Sciences Lecture Notes in Mathematics，1998.

2.Musiela M， M. Rutkowski. Martingale method in financial modeling[M].Berlin： Springer Verlag， Heidelberg； New York，1997.

3.嵇少林.算术亚式期权的无套利定价问题[J].山东大学学报（自然科学版），1999（6）.

4郑小迎，陈金贤.关于亚式期权及其定价模型的研究[J].系统工程，2000（3）.

（作者单位：安徽农业大学经济管理学院）