球缺\椭球缺及其实际应用

摘 要： 本文主要通过运用本科数学分析中三重积分的知识，引入球缺和椭球缺的定义，并用于解决实际生活中两种常见的油罐储油体积计算的问题，从而实现了数学教育的实用，体现数学来源于生活，应用于生活。

关键词： 球缺 椭球缺 数学教育 实际应用

数学教育的基本功能有：实用、思维训练功能、选拔.其中最重要的是实用，数学在日常生活中有用，在今后就业中有用，在科学技术活动中有用.数学是科学的语言，数学模型是描述自然现象和社会现象的工具，数学是能够产生经济效益的技术.

下面我仅就如何通过学学数学分析课程，运用其中的知识解决实际生活中的难题，谈谈个人的体会和建议，供研究者参考.

在本科二年级的数学分析课程中，我学习了三重积分，其中联系到如何解决实际生活中计算油罐储油体积计算的问题.首先给出以下预备知识：

在空间几何学中，球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球冠也可以看作一段圆弧绕经过它的一个端点的直径旋转所成的曲面.

而用一个平面去截一个球所得的部分叫球缺.根据它们的定义，可以发现：球缺属于几何体，是“体”的概念，而球冠只是个“面”的概念.因此，球缺可以计算体积，而球冠只能计算面积.推而广之，用一个平面去截一个椭球所得的部分叫椭球缺，其表面积称为椭球冠.

结合以上预备知识，本文重点介绍球缺及椭球缺的体积计算公式，并应用于解决实际生活中的计算油罐储油容量计算问题.

一、球缺

由前面的预备知识可知：用一个平面去截一个球所得的部分叫球缺，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.球缺的体积计算公式为：

若球半径r，球缺高h，则球缺的体积为：π（rh-h）.

证明：考虑到体积计算可以用三重积分积分出来，而且这里用切片法更加容易计算，于是可以如下计算：

设球体的半径为r，球缺高度为h，液体的体积为V，则此时球体的方程为：

x+y+（z-r）≤r，则有：

Case 1：h

其中，D={（x，y）|x+y≤r-（z-r），z≤h}

上式?蘩π（r-（z-r））dz=π?蘩（2rz-z）dz=π（rh-h）

Case 2：h≥r时，球体下半部分体积为V，从中部到液面部分体积是V，则：

V=V+V

而V=×πr=πr

V=dxdydz=?蘩dzdxdy

其中D={（x，y）|x+y≤r-（z-r），r≤z≤h}

上式V=?蘩π（r-（z-r））dz=π?蘩（2zr-z）dz=π（rh-h-r）

因此V=V+V=πr+π（rh-h-r）=π（rh-h）

综上所述，液面高度为h时，对应的体积为π（rh-h）.

二、椭球缺

上述内容研究的是三维空间中球缺体积的计算，对于球缺的相关问题在三维空间中研究得比较多，这些都可以在很多资料和教科书上查到，在了解了三维空间球冠的相关定义、体积公式后，在此基础之上能否将其相关的问题平行或者相似地推广到三维空间中椭球上呢?

先给出椭球缺的定义：用一个平面去截一个椭球所得的部分叫椭球缺，其表面积称为椭球冠.

下面给出由一个平行于坐标轴的平面截一个椭球所得的椭球缺的体积计算公式：

设椭球体的标准方程为++≤1，在某一轴上取与轴垂直的平面d，则其体积计算公式为：

若平面d平行于x轴，则体积为：V=（1-）

若平面d平行于y轴，则体积为：V=（1-）

若平面d平行于z轴，则体积为：V=（1-）

证明：

设任意一个椭球体为++≤1，在轴z上取与轴z垂直的平面z=d，（d∈［0，c］）和平面z=c，求这两个平面之间的那部分椭球体的体积.

采用切片法，有V=dxdydz=?蘩dzdxdy，

其中，Dz是平行于xoy平面的椭圆形切片，

Dz=（x，y）|+≤1-，d≤z≤c，

即：Dz=（x，y）|+≤1，d≤z≤c

它的面积为：

S=π（a）（b）=πab（1-）

于是椭球缺的体积为：

V=?蘩πab（1-）dz

=πab?蘩（1-）dz

=πab・（z-）cd

=πab・（-d+）

若设该椭球冠的高度为h，则有d=c-h，代入上式得

V=（1-）（1）

同理可得，

在平面x=d，（d∈［0，a］）和平面x=a之间的那部分椭球体的体积为

V=（1-）（2）

在平面y=d，（d∈［0，b］）和平面y=b之间的那部分椭球体的体积为

V=（1-）（3）

注：因为球体是椭球体当a=b=c时的特殊情况，若令（1）（2）（3）式中a=b=c=r，则有

V=πh（r-）.

这跟上面所求的球缺的体积是相对应的.

三、球缺、椭球缺在实际生活中的应用

一般来说，从油田开采出来的石油需装入油罐运送到炼油厂，其产量一般靠流量计估测.而由于液态石油的特殊性，测量过程往往误差较大，导致产油量与输出量严重不符.这是各中小型油田一直没有解决的生产实际问题.

考虑到在液化石油气的储运过程中，用到的储油罐容器以球形和椭球形最为常见.为解决小型油田的问题，可事先在各类油罐安装上测定石油页面高度的容器，然后根据油罐的种类，对照其计算体积的公式，便可以通过计算机，直接由液面高度测出石油的体积.这就解决了采油厂的产油量与输出量之间较大误差的难题.

下面是实例：

先以球缺型油罐为例，油罐半径为3.5m，编入Excel中，计算结果如下表：（高度单位：米，体积单位：立方米）

因此油罐计量人员可以根据此类的表格来计算液体体积，在石油储运行业中此表也被称为仓容表.工作人员测量出液面的高度，就可以对照此表得出所储存的液体体积.

再若是椭球缺型油罐，若椭球型油罐的三个参数分别为5m、4m、3m，则同理可以得出其仓容表：（高度单位：米，体积单位：立方米）

这样可以很精确地得出储油的体积数值，再由密度可以求出储油的质量大小，也可以考虑温度的影响，因而更加精确地测量出了油罐储油量，从而解决了小型油库的问题.

参考文献:

［1］耿堤，易法槐，丁时进.数学分析（三）［M］.北京:科学出版社，2010.

［2］张奠宙，宋乃庆.数学教育概论［M］.北京:高等教育出版社，2009.

［3］德（Bird，J.O.）.数学手册［M］.北京:科学出版社，1990.

［4］联群，李莉.石油油罐体积计算方法的探讨［J］.吉林化工学院学报，1989.6，（4）.

［5］发龙.实用油罐体积的计算研究［J］.南方农机・科技之窗・研究与制造，2008，（3）.

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

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