时间:2022-10-29 08:58:58
解含有参数的一元二次不等式是高中数学的一类重要题型,也是教学的一个重点.要想准确地解决这类问题,就必须从两个方面入手:强化分类意识,进行合理分类;确定讨论对象.一元二次含参不等式的讨论主要有三类:讨论二次项系数型;讨论判别式型;讨论根的大小型.本文就这三类题型作分析.
一、讨论二次项系数型
当二次项系数为字母时,首先要讨论二次项系数是否为零.若为零,则该不等式变为一元一次不等式;若不为零,则解集则与二次项系数的符号有关.
例1:设m∈R,解关于x的不等式:m■x■+2mx-3
分析:该不等式二次项系数为字母,故需对其分m>0,m=0,m
解:(1)m=0时,原不等式变为-3
(2)m≠0时,原不等式可分解为(mx+3)(mx-1)
当m>0时,原不等式的解集为{x|-■
当m
综上所述:m=0时,{x|x∈R};
m>0时,原不等式的解集为{x|-■
m
二、讨论判别式型
当二次不等式中有字母,且不易观察出所对应方程是否有实根时,应对方程有无实根进行讨论,即讨论判别式.
例2:解关于x的不等式:2x■+ax+2>0
分析:由于=a■-16不为完全平方式,故不能确定对应方程有无实根,因此需分>0,=0,
解:=a■-16
(1)=0,即a■=16,也即a=±4时,x=-■,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-■};
(2)>0,即a>4或a
(3)
综上所述:a=±4时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-■};
a>4或a
三、讨论两根的大小型
当一元二次不等式中有字母而导致根的大小不易区别时,应通过做差法,由根的大小确定字母范围.
例3:解关于x的不等式:x■-2x+1-a■≥0.
分析:由于=4a■,原不等式可分解为[x-(1-a)][x-(1+a)]≥0,从而对应方程的两根分别为x■=1-a,x■=1+a,将两根的大小分为x■>x■,x■=x■,x■
解:(1)当x■>x■时,即a
(2)当x■=x■时,即a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R};
(3)当x■0时,原不等式的解集为{x|x≥1+a或x≤1-a}.
综上所述:当a
当a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R};
当x■
当一个二次含参不等式中需要同时讨论二次项系数,判别式及两根大小时,只需按二次项系数、判别式、两根大小的顺序讨论即可.